Упр.11.44 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда
$$\sin^2 x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x<0 \;\Longleftrightarrow\; t^2-\frac{\sqrt2}{2}t<0$$
$$t\left(t-\frac{\sqrt2}{2}\right)<0$$
Отсюда
$$0<t<\frac{\sqrt2}{2}$$
то есть
$$0<\sin x<\frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно,
$$x\in(2\pi k;\,\frac{\pi}{4}+2\pi k)\cup(\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,\pi+2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$
б) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда
$$\sin^2 x+\frac12\sin x>0 \;\Longleftrightarrow\; t^2+\frac12 t>0$$
$$t\left(t+\frac12\right)>0$$
Отсюда
$$t<-\frac12 \quad \text{или} \quad t>0,$$
то есть
$$\sin x<-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x>0.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\cup(2\pi k;\,\pi+2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда
$$\cos^2 x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x<0 \;\Longleftrightarrow\; t^2-\frac{\sqrt3}{2}t<0$$
$$t\left(t-\frac{\sqrt3}{2}\right)<0$$
Отсюда
$$0<t<\frac{\sqrt3}{2},$$
то есть
$$0<\cos x<\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда
$$\cos^2 x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x>0 \;\Longleftrightarrow\; t^2+\frac{\sqrt2}{2}t>0$$
$$t\left(t+\frac{\sqrt2}{2}\right)>0$$
Отсюда
$$t<-\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad t>0,$$
то есть
$$\cos x<-\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \cos x>0.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
д) Пусть $$t=\tan x.$$ Тогда
$$\tan^2 x-\tan x<0 \;\Longleftrightarrow\; t^2-t<0$$
$$t(t-1)<0$$
Отсюда
$$0<t<1,$$
то есть
$$0<\tan x<1.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
е) Пусть $$t=\tan x.$$ Тогда
$$\tan^2 x+\sqrt3\,\tan x>0 \;\Longleftrightarrow\; t^2+\sqrt3\,t>0$$
$$t(t+\sqrt3)>0$$
Отсюда
$$t<-\sqrt3 \quad \text{или} \quad t>0,$$
то есть
$$\tan x<-\sqrt3 \quad \text{или} \quad \tan x>0.$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right)\cup\left(\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
ж) Пусть $$t=\cot x.$$ Тогда
$$\cot^2 x-\cot x<0 \;\Longleftrightarrow\; t^2-t<0$$
$$t(t-1)<0$$
Отсюда
$$0<t<1,$$
то есть
$$0<\cot x<1.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
з) Пусть $$t=\cot x.$$ Тогда
$$\cot^2 x+\frac{\sqrt3}{3}\cot x>0 \;\Longleftrightarrow\; t^2+\frac{\sqrt3}{3}t>0$$
$$t\left(t+\frac{\sqrt3}{3}\right)>0$$
Отсюда
$$t<-\frac{\sqrt3}{3} \quad \text{или} \quad t>0,$$
то есть
$$\cot x<-\frac{\sqrt3}{3} \quad \text{или} \quad \cot x>0.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x\in(2\pi k;\,\frac{\pi}{4}+2\pi k)\cup(\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z$$
б) $$x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\cup(2\pi k;\,\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z$$
в) $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
г) $$x\in\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
д) $$x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
е) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right)\cup\left(\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
ж) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
з) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
