Упр.11.43 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда

   $$\sin^2 x<\frac12 \;\Longleftrightarrow\; t^2<\frac12 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{1}{\sqrt2}<t<\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Значит,

   $$-\frac{1}{\sqrt2}<\sin x<\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Отсюда

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда

   $$\cos^2 x<\frac34 \;\Longleftrightarrow\; t^2<\frac34 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{\sqrt3}{2}<t<\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\sqrt3}{2}<\cos x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда

   $$\sin^2 x>\frac34 \;\Longleftrightarrow\; t^2>\frac34 \;\Longleftrightarrow\; t<-\frac{\sqrt3}{2}\ \text{или}\ t>\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Значит,

   $$\sin x<-\frac{\sqrt3}{2}\ \text{или}\ \sin x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г) Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда

   $$\cos^2 x>\frac12 \;\Longleftrightarrow\; t^2>\frac12 \;\Longleftrightarrow\; t<-\frac{1}{\sqrt2}\ \text{или}\ t>\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

5. д) Пусть $$t=\tan x.$$ Тогда

   $$\tan^2 x>1 \;\Longleftrightarrow\; t^2>1 \;\Longleftrightarrow\; t<-1\ \text{или}\ t>1.$$

   Отсюда

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{4}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

6. е) Пусть $$t=\tan x.$$ Тогда

   $$\tan^2 x>3 \;\Longleftrightarrow\; t^2>3 \;\Longleftrightarrow\; t<-\sqrt3\ \text{или}\ t>\sqrt3.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

7. ж) Пусть $$t=\cot x.$$ Тогда

   $$\cot^2 x>1 \;\Longleftrightarrow\; t^2>1 \;\Longleftrightarrow\; t<-1\ \text{или}\ t>1.$$

   Отсюда

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

8. з) Пусть $$t=\cot x.$$ Тогда

   $$\cot^2 x<\frac13 \;\Longleftrightarrow\; t^2<\frac13 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{1}{\sqrt3}<t<\frac{1}{\sqrt3}.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

б) $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

в) $$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

д) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{4}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

е) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

ж) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

з) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$