Упр.11.41 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Используем монотонность функции $$y=\ctg x$$ на каждом промежутке $$\left(\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

На этом промежутке функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому неравенствам вида $$\ctg x>a$$ и $$\ctg x

$$\ctg x>a \;\Longleftrightarrow\; x\in\left(\pi k;\,\operatorname{arccot} a+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z,$$
$$\ctg x

Вычислим нужные значения:

$$\operatorname{arccot}1=\frac{\pi}{4},\quad \operatorname{arccot}\sqrt3=\frac{\pi}{6},\quad \operatorname{arccot}\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{3}.$$

1. $$\ctg x>1$$

   $$x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg x>\sqrt3$$

   $$x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg x>\frac{\sqrt3}{3}$$

   $$x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg x>-1$$

   $$x\in\left(\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

5. $$\ctg x>-\sqrt3$$

   $$x\in\left(\pi k;\,\frac{5\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

6. $$\ctg x>-\frac{\sqrt3}{3}$$

   $$x\in\left(\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

7. $$\ctg x<1$$

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

8. $$\ctg x<\sqrt3$$

   $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

9. $$\ctg x<\frac{\sqrt3}{3}$$

   $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

10. $$\ctg x<-1$$

    $$x\in\left(\frac{3\pi}{4}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

11. $$\ctg x<-\sqrt3$$

    $$x\in\left(\frac{5\pi}{6}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

12. $$\ctg x<-\frac{\sqrt3}{3}$$

    $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &1)\ x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &2)\ x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &3)\ x\in\left(\pi k;\,\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &4)\ x\in\left(\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &5)\ x\in\left(\pi k;\,\frac{5\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &6)\ x\in\left(\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &7)\ x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &8)\ x\in\left(\frac{\pi}{6}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &9)\ x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &10)\ x\in\left(\frac{3\pi}{4}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &11)\ x\in\left(\frac{5\pi}{6}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;\\ &12)\ x\in\left(\frac{2\pi}{3}+\pi k;\,\pi+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z. \end{aligned} $$