Упр.11.39 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)$$, $$k\in\mathbb Z$$.

2. Найдём точки, в которых $$\tg x$$ принимает заданные значения:

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,$$
   $$\tg x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k,$$
   $$\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\pi k,$$
   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,$$
   $$\tg x=-\sqrt{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,$$
   $$\tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi k.$$

3. Так как тангенс на каждом промежутке возрастания, то неравенства решаются сравнением с найденными точками.

   а) $$\tg x>1$$

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   б) $$\tg x>\sqrt{3}$$

   $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   в) $$\tg x>\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   г) $$\tg x>-1$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   д) $$\tg x>-\sqrt{3}$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   е) $$\tg x>-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   ж) $$\tg x<1$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   з) $$\tg x<\sqrt{3}$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   и) $$\tg x<\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   к) $$\tg x<-1$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   л) $$\tg x<-\sqrt{3}$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   м) $$\tg x<-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
д) $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
е) $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
ж) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
з) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
и) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
к) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
л) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
м) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$.