Упр.11.30 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\sin^3 x-2\sin^2 x\cos x-\sin x\cos^2 x+2\cos^3 x=0$$

   Сгруппируем слагаемые:
   $$\sin x(\sin^2 x-2\sin x\cos x)-\cos x(\sin^2 x-2\cos^2 x)=0$$

   Удобнее вынести общий множитель:
   $$\sin^3 x-2\sin^2 x\cos x-\sin x\cos^2 x+2\cos^3 x=(\sin x-2\cos x)(\sin^2 x-\cos^2 x)$$

   Тогда
   $$ (\sin x-2\cos x)(\sin^2 x-\cos^2 x)=0 $$

   Отсюда:
   $$\sin x-2\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x-\cos^2 x=0.$$

   1) $$\sin x-2\cos x=0 \Rightarrow \tg x=2,$$
   значит
   $$x=\arctg 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin^2 x-\cos^2 x=0 \Rightarrow \cos 2x=0,$$
   поэтому
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin^3 x-7\sin x\cos^2 x-6\cos^3 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^3 x$$:
   $$\tg^3 x-7\tg x-6=0.$$

   Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^3-7t-6=0.$$

   Подбором корней:
   $$t^3-7t-6=(t-3)(t+1)(t+2).$$

   Значит,
   $$\tg x=3,\quad \tg x=-1,\quad \tg x=-2.$$

   Тогда
   $$x=\arctg 3+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg(-2)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin^3 x-7\sin x\cos^2 x+6\cos^3 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ получаем:
   $$\tg^3 x-7\tg x+6=0.$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^3-7t+6=0=(t-1)(t-2)(t+3).$$

   Следовательно,
   $$\tg x=1,\quad \tg x=2,\quad \tg x=-3.$$

   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg 2+\pi k,\quad x=\arctg(-3)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin^3 x+8\sin^2 x\cos x-10\sin x\cos^2 x+8\cos^3 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^3 x$$:
   $$\tg^3 x+8\tg^2 x-10\tg x+8=0.$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^3+8t^2-10t+8=0.$$

   По схеме Горнера находим корень $$t=1$$, значит
   $$t^3+8t^2-10t+8=(t-1)(t^2+9t-8).$$

   Решаем квадратное уравнение:
   $$t^2+9t-8=0,$$
   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot(-8)=113.$$

   Тогда
   $$t_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{113}}{2}.$$

   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg\frac{-9+\sqrt{113}}{2}+\pi k,\quad x=\arctg\frac{-9-\sqrt{113}}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin^3 x+2\sin^2 x\cos x-5\sin x\cos^2 x-6\cos^3 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^3 x$$:
   $$\tg^3 x+2\tg^2 x-5\tg x-6=0.$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^3+2t^2-5t-6=0=(t+1)(t+3)(t-2).$$

   Значит,
   $$\tg x=-1,\quad \tg x=-3,\quad \tg x=2.$$

   Отсюда
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg(-3)+\pi k,\quad x=\arctg 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1. $$x=\arctg 2+\pi k,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
2. $$x=\arctg 3+\pi k,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\; x=\arctg(-2)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
3. $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; x=\arctg 2+\pi k,\; x=\arctg(-3)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
4. $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; x=\arctg\frac{-9+\sqrt{113}}{2}+\pi k,\; x=\arctg\frac{-9-\sqrt{113}}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
5. $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\; x=\arctg(-3)+\pi k,\; x=\arctg 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$