Раздел11.3 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x=\frac13 \iff \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac13 \iff \cos 2x=\frac13.$$

Тогда

$$2x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac12 \arccos \frac13+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Это и есть все решения уравнения $$\sin^2 x=\frac13.$$

Можно записать ответ и в другой форме:

$$x=\pm \arcsin \frac{\sqrt3}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Покажем, что эти записи эквивалентны. Пусть

$$\alpha=\arcsin \frac{\sqrt3}{3},\qquad \beta=\frac12 \arccos \frac13.$$

Так как $$\alpha,\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ то достаточно сравнить их синусы:

$$\sin \beta=\sqrt{\frac{1-\cos 2\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac13}{2}}=\frac{\sqrt3}{3},$$

значит, $$\sin \alpha=\sin \beta.$$ Следовательно, $$\alpha=\beta,$$ и обе записи задают одну и ту же серию решений.

Ответ

$$x=\pm \frac12 \arccos \frac13+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

или эквивалентно

$$x=\pm \arcsin \frac{\sqrt3}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$