Упр.11.29 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а)
   $$\sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
   При $$\cos x\ne 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
   $$\tg^2 x-3\tg x+2=0.$$
   Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^2-3t+2=0,$$
   $$ (t-1)(t-2)=0,$$
   откуда $$t=1$$ или $$t=2$$.
   Значит,
   $$x=\arctg 1+\pi k=\frac{\pi}{4}+\pi k,$$
   $$x=\arctg 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б)
   $$\sin^2 x+3\sin x\cos x-4\cos^2 x=0$$
   При $$\cos x\ne 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
   $$\tg^2 x+3\tg x-4=0.$$
   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^2+3t-4=0,$$
   $$ (t+4)(t-1)=0,$$
   откуда $$t=-4$$ или $$t=1$$.
   Следовательно,
   $$x=\arctg(-4)+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в)
   $$5\sin^2 x-7\sin x\cos x+4\cos^2 x=1$$
   Перенесём $$1$$ в левую часть и заменим $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$:
   $$ 5\sin^2 x-7\sin x\cos x+4\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x=0, $$
   $$ 4\sin^2 x-7\sin x\cos x+3\cos^2 x=0. $$
   При $$\cos x\ne 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
   $$4\tg^2 x-7\tg x+3=0.$$
   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$4t^2-7t+3=0,$$
   $$D=49-48=1,$$
   $$t_1=\frac{7+1}{8}=1,\qquad t_2=\frac{7-1}{8}=\frac34.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg\frac34+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г)
   $$5\sin^2 x-17\sin x\cos x+4\cos^2 x+4=0$$
   Заменим $$4=\;4(\sin^2 x+\cos^2 x)$$:
   $$ 5\sin^2 x-17\sin x\cos x+4\cos^2 x+4\sin^2 x+4\cos^2 x=0, $$
   $$ 9\sin^2 x-17\sin x\cos x+8\cos^2 x=0. $$
   При $$\cos x\ne 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
   $$9\tg^2 x-17\tg x+8=0.$$
   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$9t^2-17t+8=0,$$
   $$D=289-288=1,$$
   $$t_1=\frac{17+1}{18}=1,\qquad t_2=\frac{17-1}{18}=\frac89.$$
   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg\frac89+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. д)
   $$3\cos^2 x-\sin 2x=0{,}5$$
   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, получаем
   $$ 3\cos^2 x-2\sin x\cos x-\frac12=0. $$
   Умножим на $$2$$:
   $$ 6\cos^2 x-4\sin x\cos x-1=0. $$
   При $$\cos x\ne 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
   $$6-4\tg x-\sec^2 x=0,$$
   но удобнее перейти к $$t=\tg x$$ через $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
   $$ 3\cos^2 x-2\sin x\cos x-\frac12=0 $$
   $$ 3(1-\sin^2 x)-2\sin x\cos x-\frac12=0 $$
   $$ 2.5\cos^2 x-2\sin x\cos x-0.5\sin^2 x=0. $$
   Делим на $$\cos^2 x$$:
   $$-0{,}5\tg^2 x-2\tg x+2{,}5=0,$$
   или
   $$\tg^2 x+4\tg x-5=0.$$
   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^2+4t-5=0,$$
   $$D=16+20=36,$$
   $$t_1=1,\qquad t_2=-5.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctg(-5)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

6. е)
   $$\sin 2x+5\sin^2 x=1{,}5$$
   Перепишем:
   $$ 2\sin x\cos x+5\sin^2 x-1{,}5=0. $$
   Заменим $$1{,}5=\frac32$$ и умножим на $$2$$:
   $$ 4\sin x\cos x+10\sin^2 x-3=0. $$
   При $$\cos x\ne 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
   $$4\tg x+10\tg^2 x-3\sec^2 x=0.$$
   Удобнее сразу выразить через $$t=\tg x$$:
   $$ 7t^2+4t-3=0. $$
   Тогда
   $$D=16+84=100,$$
   $$t_1=\frac{-4+10}{14}=\frac37,\qquad t_2=\frac{-4-10}{14}=-1.$$
   Следовательно,
   $$x=\arctg\frac37+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \arctg 2+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \arctg(-4)+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \arctg\frac34+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \arctg\frac89+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

д) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \arctg(-5)+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

е) $$x=\arctg\frac37+\pi k,\ -\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$