Упр.11.23 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Преобразуем уравнение:

$$\cos 4x+6\cos^2 x=1.$$

Используем формулы $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$ и $$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$$:

$$2\cos^2 2x-1+6\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=1,$$

$$2\cos^2 2x+3\cos 2x+1=0.$$

Обозначим $$t=\cos 2x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2t^2+3t+1=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=-\frac12,\qquad t_2=-1.$$

Значит, нужно решить два уравнения:

$$\cos 2x=-\frac12,$$

$$\cos 2x=-1.$$

1) Если $$\cos 2x=-\frac12,$$ то

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2) Если $$\cos 2x=-1,$$ то

$$2x=\pi+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$