Упр.11.22 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$\cos 2x+3\sin x=2.$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$1-2\sin^2 x+3\sin x=2,$$
$$2\sin^2 x-3\sin x+1=0.$$

Положим $$t=\sin x$$. Тогда

$$2t^2-3t+1=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac12.$$

1) $$\sin x=1$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[-3\pi;\,\pi\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{3\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}.$$

2) $$\sin x=\frac12$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[-3\pi;\,\pi\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{11\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$

Итак, для пункта а):

$$x=-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{11\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}.$$

б) $$\cos 2x+2=3\cos x.$$

Преобразуем:

$$\cos^2 x-\sin^2 x+2-3\cos x=0,$$
$$\cos^2 x-(1-\cos^2 x)+2-3\cos x=0,$$
$$2\cos^2 x-3\cos x+1=0.$$

Положим $$t=\cos x$$. Тогда

$$2t^2-3t+1=0,$$
$$D=1,$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac12.$$

1) $$\cos x=1$$, значит

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[-2{,}5\pi;\,-0{,}5\pi\right]$$ получаем:

$$x=-2\pi.$$

2) $$\cos x=\frac12$$, значит

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[-2{,}5\pi;\,-0{,}5\pi\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{5\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3}.$$

Итак, для пункта б):

$$x=-2\pi,\ -\frac{5\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{11\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}$$;
б) $$-2\pi,\ -\frac{5\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3}$$.