Упр.11.20 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) $$2\cos 2x+4\sin x=3$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$2(1-2\sin^2 x)+4\sin x=3$$
$$2-4\sin^2 x+4\sin x-3=0$$
$$4\sin^2 x-4\sin x+1=0$$

Положим $$t=\sin x$$, тогда $$|t|\le 1$$ и получаем:

$$4t^2-4t+1=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0$$
$$t=\frac{4}{8}=\frac12$$

Значит, $$\sin x=\frac12$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$2\cos 2x+3=4\cos x$$

Проверим значение $$x=-\frac{7\pi}{3}$$:

$$2\cos\left(2\cdot\left(-\frac{7\pi}{3}\right)\right)+3 =2\cos\left(-\frac{14\pi}{3}\right)+3 =2\cos\left(\frac{14\pi}{3}\right)+3$$
$$=2\cos\left(4\pi+\frac{2\pi}{3}\right)+3 =2\cos\frac{2\pi}{3}+3 =2\cdot\left(-\frac12\right)+3=2$$

$$4\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right)=4\cos\frac{7\pi}{3} =4\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right) =4\cos\frac{\pi}{3}=4\cdot\frac12=2.$$

Равенство верно.