Упр.11.11 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
Положим $$t=\tg^2 x.$$ Тогда уравнение
$$\tg^2 x-\frac{1}{\tg^2 x-1}=2{,}5$$
примет вид
$$t-\frac{1}{t-1}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2(t-1)$$:
$$ 2t(t-1)-2=5(t-1) $$
$$ 2t^2-2t-2=5t-5 $$
$$ 2t^2-7t+3=0. $$Дискриминант:
$$D=49-24=25.$$
Тогда
$$ t_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}, $$
$$ t_1=3,\quad t_2=\frac12. $$Возвращаемся к $$\tg^2 x$$:
$$ \tg^2 x=3 \quad \text{или} \quad \tg^2 x=\frac12. $$
Отсюда
$$ \tg x=\pm \sqrt{3} $$
$$ \tg x=\pm \frac{\sqrt2}{2}. $$Следовательно,
$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}, $$
$$ x=\pm \arctan\frac{\sqrt2}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}. $$Положим $$t=\tg^2 x.$$ Тогда уравнение
$$3\tg^2 x+\frac{1}{\tg^2 x-1}=-0{,}5$$
примет вид
$$3t+\frac{1}{t-1}=-\frac12.$$
Умножим на $$2(t-1)$$:
$$ 6t(t-1)+2=-t+1 $$
$$ 6t^2-6t+2=-t+1 $$
$$ 6t^2-5t+1=0. $$Дискриминант:
$$D=25-24=1.$$
Тогда
$$ t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}, $$
$$ t_1=\frac12,\quad t_2=\frac13. $$Возвращаемся к $$\tg^2 x$$:
$$ \tg^2 x=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg^2 x=\frac13. $$
Отсюда
$$ \tg x=\pm \frac{\sqrt2}{2} $$
$$ \tg x=\pm \frac{\sqrt3}{3}. $$Следовательно,
$$ x=\pm \arctan\frac{\sqrt2}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}, $$
$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}. $$
Ответ
а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\; x=\pm \arctan\frac{\sqrt2}{2}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z}.$$
б) $$x=\pm \arctan\frac{\sqrt2}{2}+\pi k,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z}.$$
