Упр.11.19 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$\sin 2x\cos x-3\sin^2 x=0$$
$$2\sin x\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$
$$\sin x(2\cos^2 x-3\sin x)=0$$
Если $$\sin x=0$$, то $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Если $$2\cos^2 x-3\sin x=0,$$ то, учитывая $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем
$$2(1-\sin^2 x)-3\sin x=0$$
$$2\sin^2 x+3\sin x-2=0.$$
Пусть $$t=\sin x,\ |t|\le 1.$$ Тогда
$$2t^2+3t-2=0,$$
$$D=25,\quad t_1=\frac12,\quad t_2=-2.$$
Значение $$t_2=-2$$ не подходит, поэтому $$\sin x=\frac12.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
или
$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin 2x\cos x-2\sin x=0$$
$$2\sin x\cos^2 x-2\sin x=0$$
$$2\sin x(\cos^2 x-1)=0$$
$$2\sin x(-\sin^2 x)=0.$$
Отсюда $$\sin x=0,$$ значит
$$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
в) $$\cos 2x-\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-1-\cos x=0$$
Пусть $$t=\cos x,\ |t|\le 1.$$ Тогда
$$2t^2-t-1=0,$$
$$D=9,\quad t_1=1,\quad t_2=-\frac12.$$
Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Если $$\cos x=-\frac12,$$ то
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
г) $$1{,}5-2\cos 2x=5\cos x$$
$$1{,}5-2(2\cos^2 x-1)=5\cos x$$
$$1{,}5-4\cos^2 x+2=5\cos x$$
$$4\cos^2 x+5\cos x-3{,}5=0.$$
Пусть $$t=\cos x,\ |t|\le 1.$$ Тогда
$$4t^2+5t-3{,}5=0.$$
$$D=81,\quad t_1=\frac12,\quad t_2=-\frac74.$$
Значение $$t_2$$ не подходит, поэтому $$\cos x=\frac12.$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
д) $$0{,}5+2\cos 2x=3\sin x$$
$$0{,}5+2(1-2\sin^2 x)=3\sin x$$
$$0{,}5+2-4\sin^2 x=3\sin x$$
$$4\sin^2 x+3\sin x-2{,}5=0.$$
Пусть $$t=\sin x,\ |t|\le 1.$$ Тогда
$$4t^2+3t-2{,}5=0.$$
$$D=49,\quad t_1=\frac12,\quad t_2=-\frac54.$$
Значение $$t_2$$ не подходит, поэтому $$\sin x=\frac12.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
или
$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
е) $$2\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+\cos x=3$$
$$2\cos 2x+\cos x=3$$
$$2(2\cos^2 x-1)+\cos x=3$$
$$4\cos^2 x+\cos x-5=0.$$
Пусть $$t=\cos x,\ |t|\le 1.$$ Тогда
$$4t^2+t-5=0.$$
$$D=81,\quad t_1=1,\quad t_2=-\frac54.$$
Подходит только $$\cos x=1,$$ значит
$$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
ж) $$\cos x+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=0$$
$$\cos x-\cos 2x=0$$
$$\cos x-(2\cos^2 x-1)=0$$
$$2\cos^2 x-\cos x-1=0.$$
Пусть $$t=\cos x,\ |t|\le 1.$$ Тогда
$$2t^2-t-1=0,$$
$$D=9,\quad t_1=1,\quad t_2=-\frac12.$$
Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Если $$\cos x=-\frac12,$$ то
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pi k$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$, $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$x=2\pi k$$ или $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
д) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$ или $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
е) $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
ж) $$x=2\pi k$$ или $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
