Упр.11.18 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=-\frac{1}{2}$$

   Представим левую часть в виде синуса суммы:

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{6}-\cos x\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Разделим уравнение на $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$:

   $$\sin x+\frac{1}{\sqrt{3}}\cos x=1.$$

   Удобнее сразу записать в виде синуса суммы:

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2$$

   Разделим на $$2$$:

   $$\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1.$$

   Представим левую часть как синус разности:

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}=1$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. д) $$\sin x+\cos x=-1$$

   Умножим обе части на $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Получаем

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi k$$ или $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k$$; б) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$; в) $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$; д) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ или $$x=-\pi+2\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$.