Упр.11.15 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$2\sin^2 x=3\cos x$$

   Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$2(1-\cos^2 x)=3\cos x$$

   $$2-2\cos^2 x-3\cos x=0$$

   Положим $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и получаем:

   $$2-2t^2-3t=0$$

   $$2t^2+3t-2=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$

   $$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=-2$$

   Значение $$t_2=-2$$ не подходит, так как $$t\in[-1;1]$$. Значит,

   $$\cos x=\frac12$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

2. $$2\cos^2 x+2\cos x+\sin^2 x=0$$

   Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$2\cos^2 x+2\cos x+1-\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x+2\cos x+1=0$$

   $$\left(\cos x+1\right)^2=0$$

   $$\cos x=-1$$

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

3. $$2\cos^2 x+2\cos x+\sin^2 x=0$$

   Аналогично:

   $$2\cos^2 x+2\cos x+1-\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x+2\cos x+1=0$$

   $$\left(\cos x+1\right)^2=0$$

   $$\cos x=-1$$

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

4. $$2\sin^2 x+3\sin x=0$$

   Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

   $$\sin x\left(2\sin x+3\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3=0$$

   Во втором случае $$\sin x=-\frac32$$, что невозможно, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.

   Значит,

   $$\sin x=0$$

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
3) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.