Упр.11.10 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Решение

1. $$\sin^2 x-4\sin x+3=0$$

   Пусть $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$t^2-4t+3=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=3$$

   Так как $$t_2=3\notin[-1;1]$$, получаем $$\sin x=1$$.

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\cos^2 x+5\cos x-6=0$$

   Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$t^2+5t-6=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-6$$

   Так как $$t_2=-6\notin[-1;1]$$, получаем $$\cos x=1$$.

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\sin^2 x+3\sin x+2=0$$

   Пусть $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$t^2+3t+2=0$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=-2$$

   Так как $$t_2=-2\notin[-1;1]$$, получаем $$\sin x=-1$$.

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$2\cos^2 x+5\cos x+3=0$$

   Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$2t^2+5t+3=0$$

   $$D=25-24=1$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=-\frac{3}{2}$$

   Так как $$t_2=-\frac{3}{2}\notin[-1;1]$$, получаем $$\cos x=-1$$.

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

5. $$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2+2t-3=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-3$$

   Следовательно,

   $$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-3$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

6. $$5\tg^2 x+6\tg x+1=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$5t^2+6t+1=0$$

   $$D=36-20=16$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=-\frac{1}{5}$$

   Значит,

   $$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{1}{5}$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\arctg\frac{1}{5}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

7. $$6\tg^2 x-\tg x-1=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$6t^2-t-1=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$t_1=\frac{1}{2},\quad t_2=-\frac{1}{3}$$

   Следовательно,

   $$\tg x=\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{1}{3}$$

   $$x=\arctg\frac{1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

8. $$4\tg^2 x-7\tg x-2=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$4t^2-7t-2=0$$

   $$D=49+32=81$$

   $$t_1=2,\quad t_2=-\frac{1}{4}$$

   Значит,

   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{1}{4}$$

   $$x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\arctg\frac{1}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

9. $$\sin^2 x+2\sin x+1=0$$

   Пусть $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$t^2+2t+1=0$$

   $$\left(t+1\right)^2=0$$

   $$t=-1$$

   Следовательно,

   $$\sin x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

10. $$\cos^2 x-2\cos x+1=0$$

    Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

    $$t^2-2t+1=0$$

    $$\left(t-1\right)^2=0$$

    $$t=1$$

    Следовательно,

    $$\cos x=1$$

    $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1. $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2. $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3. $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4. $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5. $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6. $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac{1}{5}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
7. $$x=\arctg\frac{1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
8. $$x=\arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac{1}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
9. $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
10. $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$