Упражнение 109 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность.

Из условия:

$$a_1+a_{20}=10,$$

$$a_2\cdot a_{20}=23\frac{47}{64}=\frac{1519}{64}.$$

Так как $$a_{20}=a_1+19d,$$ а $$a_2=a_1+d,$$ получаем систему:

$$a_1+a_1+19d=10,$$

$$\left(a_1+d\right)\left(a_1+19d\right)=\frac{1519}{64}.$$

Из первого уравнения:

$$2a_1+19d=10,$$

$$a_1=\frac{10-19d}{2}.$$

Подставим в произведение:

$$\left(\frac{10-19d}{2}+d\right)\left(\frac{10-19d}{2}+19d\right)=\frac{1519}{64}.$$

Упростим:

$$\left(\frac{10-17d}{2}\right)\left(\frac{10+19d}{2}\right)=\frac{1519}{64}.$$

Тогда

$$\frac{(10-17d)(10+19d)}{4}=\frac{1519}{64}.$$

После раскрытия скобок:

$$100+20d-323d^2=\frac{1519}{16}.$$

Умножим на $$16$$:

$$1600+320d-5168d^2=1519,$$

$$5168d^2-320d-81=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем:

$$d=\frac18.$$

Тогда

$$a_1=\frac{10-19\cdot \frac18}{2}=\frac{21}{8}.$$

Найдём сумму первых 16 членов:

$$S_{16}=\frac{16}{2}\left(2a_1+15d\right).$$

Подставим значения:

$$S_{16}=8\left(2\cdot \frac{21}{8}+15\cdot \frac18\right)=8\left(\frac{42}{8}+\frac{15}{8}\right)=8\cdot \frac{57}{8}=57.$$

Ответ

$$57$$