Упражнение 109 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность.

Из условия:

$$a_1+a_{20}=10,$$

$$a_2\cdot a_{20}=23\frac{47}{64}=\frac{1519}{64}.$$

Так как $$a_{20}=a_1+19d,$$ а $$a_2=a_1+d,$$ получаем систему:

$$a_1+a_1+19d=10,$$

$$\left(a_1+d\right)\left(a_1+19d\right)=\frac{1519}{64}.$$

Из первого уравнения:

$$2a_1+19d=10,$$

$$a_1=\frac{10-19d}{2}.$$

Подставим в произведение:

$$\left(\frac{10-19d}{2}+d\right)\left(\frac{10-19d}{2}+19d\right)=\frac{1519}{64}.$$

Упростим:

$$\left(\frac{10-17d}{2}\right)\left(\frac{10+19d}{2}\right)=\frac{1519}{64}.$$

Тогда

$$\frac{(10-17d)(10+19d)}{4}=\frac{1519}{64}.$$

После раскрытия скобок:

$$100+20d-323d^2=\frac{1519}{16}.$$

Умножим на $$16$$:

$$1600+320d-5168d^2=1519,$$

$$5168d^2-320d-81=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем:

$$d=\frac18.$$

Тогда

$$a_1=\frac{10-19\cdot \frac18}{2}=\frac{21}{8}.$$

Найдём сумму первых 16 членов:

$$S_{16}=\frac{16}{2}\left(2a_1+15d\right).$$

Подставим значения:

$$S_{16}=8\left(2\cdot \frac{21}{8}+15\cdot \frac18\right)=8\left(\frac{42}{8}+\frac{15}{8}\right)=8\cdot \frac{57}{8}=57.$$

Ответ

$$57$$