Упражнение 106 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. а) Для арифметической прогрессии $$a_5=a_1+4d,$$ $$a_2=a_1+d.$$

   Из условия:

   $$\begin{cases} a_1=5,\\ a_5=14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+d=5,\\ a_1+4d=14 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$3d=9,\quad d=3.$$

2. б)

   $$\begin{cases} a_7=20,\\ a_3=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+6d=20,\\ a_1+2d=8 \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$4d=12,\quad d=3.$$

   Тогда

   $$a_1+2\cdot 3=8,\quad a_1=2.$$

3. в)

   $$\begin{cases} a_4=11,\\ a_6=17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+3d=11,\\ a_1+5d=17 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$2d=6,\quad d=3.$$

   Тогда

   $$a_1+3\cdot 3=11,\quad a_1=2.$$

   Искомый член:

   $$a_8=a_1+7d=2+7\cdot 3=23.$$

4. г)

   $$\begin{cases} a_1+a_4=20,\\ a_2+a_8=40 \end{cases}$$

   Так как

   $$a_4=a_1+3d,\quad a_2=a_1+d,\quad a_8=a_1+7d,$$

   получаем систему:

   $$\begin{cases} 2a_1+3d=20,\\ 2a_1+8d=40 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$5d=20,\quad d=4.$$

5. д)

   $$a_7=8,\quad a_{10}=40.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} a_1+6d=8,\\ a_1+9d=40 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$3d=32,\quad d=\frac{32}{3}.$$

   Найдём сумму первых 12 членов:

   $$S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2a_1+11d\bigr).$$

   Из $$a_1+6d=8$$ имеем

   $$a_1=8-6\cdot \frac{32}{3}=8-64=-56.$$

   Тогда

   $$S_{12}=6\left(2\cdot(-56)+11\cdot \frac{32}{3}\right) =6\left(-112+\frac{352}{3}\right) =6\cdot \frac{16}{3} =32.$$

6. е)

   $$a_1+a_7=16,\quad a_1-a_7=-12.$$

   Сложим уравнения:

   $$2a_1=4,\quad a_1=2.$$

   Тогда

   $$2-a_7=-12,\quad a_7=14.$$

   Найдём разность:

   $$a_7=a_1+6d \Rightarrow 2+6d=14,\quad d=2.$$

   Сумма первых 10 членов:

   $$S_{10}=\frac{10}{2}\bigl(2a_1+9d\bigr) =5(2\cdot 2+9\cdot 2) =5\cdot 22 =110.$$

Ответ

а) $$d=3$$; б) $$a_1=2$$; в) $$a_8=23$$; г) $$d=4$$; д) $$S_{12}=32$$; е) $$S_{10}=110$$.