Упражнение 106 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) Для арифметической прогрессии $$a_5=a_1+4d,$$ $$a_2=a_1+d.$$
Из условия:
$$ \begin{cases} a_1=5,\\ a_5=14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+d=5,\\ a_1+4d=14 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3d=9,\quad d=3.$$
б)
$$ \begin{cases} a_7=20,\\ a_3=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+6d=20,\\ a_1+2d=8 \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$4d=12,\quad d=3.$$
Тогда
$$a_1+2\cdot 3=8,\quad a_1=2.$$
в)
$$ \begin{cases} a_4=11,\\ a_6=17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1+3d=11,\\ a_1+5d=17 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2d=6,\quad d=3.$$
Тогда
$$a_1+3\cdot 3=11,\quad a_1=2.$$
Искомый член:
$$a_8=a_1+7d=2+7\cdot 3=23.$$
г)
$$ \begin{cases} a_1+a_4=20,\\ a_2+a_8=40 \end{cases} $$
Так как
$$a_4=a_1+3d,\quad a_2=a_1+d,\quad a_8=a_1+7d,$$
получаем систему:
$$ \begin{cases} 2a_1+3d=20,\\ 2a_1+8d=40 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$5d=20,\quad d=4.$$
д)
$$a_7=8,\quad a_{10}=40.$$
Тогда
$$ \begin{cases} a_1+6d=8,\\ a_1+9d=40 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3d=32,\quad d=\frac{32}{3}.$$
Найдём сумму первых 12 членов:
$$ S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2a_1+11d\bigr). $$
Из $$a_1+6d=8$$ имеем
$$a_1=8-6\cdot \frac{32}{3}=8-64=-56.$$
Тогда
$$ S_{12}=6\left(2\cdot(-56)+11\cdot \frac{32}{3}\right) =6\left(-112+\frac{352}{3}\right) =6\cdot \frac{16}{3} =32. $$
е)
$$a_1+a_7=16,\quad a_1-a_7=-12.$$
Сложим уравнения:
$$2a_1=4,\quad a_1=2.$$
Тогда
$$2-a_7=-12,\quad a_7=14.$$
Найдём разность:
$$a_7=a_1+6d \Rightarrow 2+6d=14,\quad d=2.$$
Сумма первых 10 членов:
$$ S_{10}=\frac{10}{2}\bigl(2a_1+9d\bigr) =5(2\cdot 2+9\cdot 2) =5\cdot 22 =110. $$
Ответ
а) $$d=3$$; б) $$a_1=2$$; в) $$a_8=23$$; г) $$d=4$$; д) $$S_{12}=32$$; е) $$S_{10}=110$$.
