Упражнение 101 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\frac{x^2-1+x+1}{x(x-2)}\le 0,\qquad x\ne 0,\ x\ne 2$$

   Числитель:
   $$x^2+x-1+1=x^2+x=x(x+1)$$

   Тогда
   $$\frac{x(x+1)}{x(x-2)}\le 0$$
   при $$x\ne 0,\ x\ne 2$$.

   Сокращаем на $$x$$, учитывая ОДЗ:
   $$\frac{x+1}{x-2}\le 0,\qquad x\ne 0,\ x\ne 2$$

   По знакам дроби получаем:
   $$x\in[-1;0)\cup(0;2)$$

2. $$\frac{x^2-1}{x^2-x-2}\le \frac12,\qquad x\ne -1,\ x\ne 2$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{2(x^2-1)-(x^2-x-2)}{2(x^2-x-2)}\le 0$$

   $$\frac{x^2+x}{2(x^2-x-2)}\le 0$$
   $$\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}\le 0$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne -1,\ x\ne 2$$ сокращаем на $$x+1$$:
   $$\frac{x}{x-2}\le 0$$

   Отсюда
   $$x\in[0;2)$$

3. $$\frac{2x-1}{x^2-x-2}>\frac12,\qquad x\ne -1,\ x\ne 2$$

   Перенесём влево:
   $$\frac{2(2x-1)-(x^2-x-2)}{2(x^2-x-2)}>0$$

   $$\frac{-x^2+5x}{2(x^2-x-2)}>0$$
   $$\frac{-x(x-5)}{2(x-2)(x+1)}>0$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:
   $$\frac{x(x-5)}{(x-2)(x+1)}<0$$

   По таблице знаков:
   $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;2)\cup(5;+\infty)$$

Ответ

1) $$x\in[-1;0)\cup(0;2)$$
2) $$x\in[0;2)$$
3) $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;2)\cup(5;+\infty)$$