Упражнение 100 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$|2x+3|>\frac{2}{2x+1}$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x\ge -\frac32,$$ то $$2x+3>0,$$ и неравенство равносильно

   $$2x+3-\frac{2}{2x+1}>0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(2x+3)(2x+1)-2}{2x+1}>0$$

   $$\frac{4x^2+8x+1}{2x+1}>0.$$

   Найдём корни числителя:

   $$4x^2+8x+1=0,$$

   $$D=64-16=48,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{48}}{8}=-1\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

   С учётом условия $$x\ge -\frac32$$ получаем

   $$x\in\left[-\frac32;\,-\frac12\right)\cup\left(-1+\frac{\sqrt3}{2};\,+\infty\right).$$

   2) Если $$x<-\frac32,$$ то $$2x+3<0,$$ и

   $$-2x-3-\frac{2}{2x+1}>0.$$

   После приведения к общему знаменателю:

   $$\frac{-4x^2-8x-5}{2x+1}>0.$$

   Так как

   $$-4x^2-8x-5<0 \quad \text{при всех } x,$$

   то неравенство выполняется при $$2x+1<0,$$ то есть при $$x<-\frac12.$$

   С учётом условия $$x<-\frac32$$ получаем

   $$x\in(-\infty;\,-\frac32).$$

   Объединяя результаты, имеем

   $$x\in(-\infty;\,-\frac12)\cup\left(-1+\frac{\sqrt3}{2};\,+\infty\right).$$

2. $$|2x-3|>\frac{2}{x-2}$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x\ge \frac32,$$ то $$2x-3\ge 0,$$ и

   $$2x-3-\frac{2}{x-2}>0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2x^2-7x+4}{x-2}>0.$$

   Найдём корни числителя:

   $$2x^2-7x+4=0,$$

   $$D=49-32=17,$$

   $$x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}.$$

   С учётом условия $$x\ge \frac32$$ получаем

   $$x\in\left[\frac32,\,2\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{17}}{4};\,+\infty\right).$$

   2) Если $$x<\frac32,$$ то $$2x-3<0,$$ и

   $$-2x+3-\frac{2}{x-2}>0.$$

   После приведения к общему знаменателю:

   $$\frac{-2x^2+7x-8}{x-2}>0.$$

   Но

   $$-2x^2+7x-8<0 \quad \text{при всех } x,$$

   значит, неравенство выполняется при $$x-2<0,$$ то есть при $$x<2.$$

   С учётом условия $$x<\frac32$$ получаем

   $$x\in(-\infty;\,\frac32).$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;\,2)\cup\left(\frac{7+\sqrt{17}}{4};\,+\infty\right).$$

3. $$|x+1|>\frac{2}{x-1}$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x\ge -1,$$ то $$x+1\ge 0,$$ и

   $$x+1-\frac{2}{x-1}>0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x^2-x-3}{x-1}>0.$$

   Найдём корни числителя:

   $$x^2-x-3=0,$$

   $$D=1+12=13,$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.$$

   С учётом условия $$x\ge -1$$ получаем

   $$x\in\left[-1,\,1\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\,+\infty\right).$$

   2) Если $$x<-1,$$ то $$x+1<0,$$ и

   $$-x-1-\frac{2}{x-1}>0.$$

   После приведения к общему знаменателю:

   $$\frac{-x^2-x+1}{x-1}>0.$$

   Найдём корни числителя:

   $$x^2+x-1=0,$$

   $$D=1+4=5,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

   С учётом условия $$x<-1$$ получаем

   $$x\in(-\infty;\,-1).$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;\,1)\cup\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\,+\infty\right).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;\,-\frac12)\cup\left(-1+\frac{\sqrt3}{2};\,+\infty\right)$$
2) $$x\in(-\infty;\,2)\cup\left(\frac{7+\sqrt{17}}{4};\,+\infty\right)$$
3) $$x\in(-\infty;\,1)\cup\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\,+\infty\right)$$