Упр.10.9 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$\sin x=x^2$$
Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, а $$x^2\ge 0$$, то корни могут быть только при $$x\in[-1;1]$$.
При $$x=0$$ получаем $$\sin 0=0^2$$, значит, $$x=0$$ — корень.
На промежутке $$0<x\le 1$$ графики $$y=\sin x$$ и $$y=x^2$$ пересекаются ещё один раз, поэтому уравнение имеет второй корень.
Итак, уравнение имеет 2 корня.
б) $$\sin x=-x^2$$
Здесь $$\sin x\in[-1;1]$$, а $$-x^2\le 0$$, поэтому корни возможны только при $$x\in[-1;1]$$.
При $$x=0$$ имеем $$\sin 0=-0^2$$, значит, $$x=0$$ — корень.
На промежутке $$[-1;0)$$ графики $$y=\sin x$$ и $$y=-x^2$$ пересекаются ещё один раз.
Следовательно, уравнение имеет 2 корня.
в) $$\sin x=\frac{x}{10}$$
Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, то должно быть $$\frac{x}{10}\in[-1;1]$$, откуда $$x\in[-10;10]$$.
Функции $$y=\sin x$$ и $$y=\frac{x}{10}$$ нечётные, поэтому достаточно рассмотреть промежуток $$[0;10]$$.
На $$[0;\pi]$$ графики пересекаются в двух точках, на $$[\pi;2\pi]$$ — ещё в одной, на $$[2\pi;3\pi]$$ — ещё в одной, на $$[3\pi;10]$$ — ещё в одной. Итого на $$[0;10]$$ получаем $$4$$ корня.
Из нечётности следует, что на $$[-10;0]$$ также есть $$4$$ корня, но корень $$x=0$$ посчитан дважды, поэтому всего:
$$4+4-1=7.$$
Итак, уравнение имеет 7 корней.
г) $$\sin x=\frac{x}{100}$$
Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$\frac{x}{100}\in[-1;1]$$, значит, $$x\in[-100;100]$$.
Рассмотрим промежуток $$[0;100]$$. На нём укладывается $$15$$ полных периодов $$2\pi$$ и ещё неполный период. На каждом полном периоде графики пересекаются в двух точках, значит, на $$[0;100]$$ получаем $$32$$ точки пересечения, считая $$x=0$$.
По симметрии относительно начала координат на $$[-100;0]$$ также получаем $$32$$ точки пересечения, причём $$x=0$$ учтён дважды.
Следовательно, всего корней:
$$32+32-1=63.$$
Итак, уравнение имеет 63 корня.