Упр.10.32 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Функция $$y=\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(k\pi;\,(k+1)\pi\right)$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Поэтому на одном и том же промежутке большее значение аргумента соответствует меньшему значению котангенса.

1. $$\ctg \frac{\pi}{7} \; ? \; \ctg \frac{6\pi}{7}$$

   Числа $$\frac{\pi}{7}$$ и $$\frac{6\pi}{7}$$ лежат в промежутке $$\left(0;\pi\right)$$, а так как $$\frac{\pi}{7}<\frac{6\pi}{7}$$, то

   $$\ctg \frac{\pi}{7}>\ctg \frac{6\pi}{7}.$$

2. $$\ctg\left(-\frac{\pi}{7}\right) \; ? \; \ctg\left(-\frac{6\pi}{7}\right)$$

   Числа $$-\frac{\pi}{7}$$ и $$-\frac{6\pi}{7}$$ лежат в промежутке $$\left(-\pi;0\right)$$, где функция $$y=\ctg x$$ также убывает. Так как

   $$-\frac{6\pi}{7}<-\frac{\pi}{7},$$

   то

   $$\ctg\left(-\frac{\pi}{7}\right)<\ctg\left(-\frac{6\pi}{7}\right).$$

3. $$\ctg \frac{7\pi}{9} \; ? \; \ctg \frac{8\pi}{9}$$

   Оба числа принадлежат промежутку $$\left(0;\pi\right)$$, причём

   $$\frac{7\pi}{9}<\frac{8\pi}{9}.$$

   Следовательно,

   $$\ctg \frac{7\pi}{9}>\ctg \frac{8\pi}{9}.$$

4. $$\ctg \frac{11\pi}{10} \; ? \; \ctg \frac{13\pi}{10}$$

   Числа $$\frac{11\pi}{10}$$ и $$\frac{13\pi}{10}$$ лежат в промежутке $$\left(\pi;2\pi\right)$$, где функция $$y=\ctg x$$ убывает. Так как

   $$\frac{11\pi}{10}<\frac{13\pi}{10},$$

   то

   $$\ctg \frac{11\pi}{10}>\ctg \frac{13\pi}{10}.$$

5. $$\ctg \frac{6\pi}{7} \; ? \; \ctg\left(-\frac{\pi}{5}\right)$$

   Здесь $$\frac{6\pi}{7}\in\left(0;\pi\right)$$, а $$-\frac{\pi}{5}\in\left(-\pi;0\right)$$. Сравним значения по расположению аргументов на соответствующих промежутках убывания:

   $$-\frac{\pi}{5}<\frac{6\pi}{7},$$

   поэтому

   $$\ctg \frac{6\pi}{7}<\ctg\left(-\frac{\pi}{5}\right).$$

Ответ

$$\ctg \frac{\pi}{7}>\ctg \frac{6\pi}{7},\quad \ctg\left(-\frac{\pi}{7}\right)<\ctg\left(-\frac{6\pi}{7}\right),\quad \ctg \frac{7\pi}{9}>\ctg \frac{8\pi}{9},\quad \ctg \frac{11\pi}{10}>\ctg \frac{13\pi}{10},\quad \ctg \frac{6\pi}{7}<\ctg\left(-\frac{\pi}{5}\right).$$