Упр.10.16 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Используем свойство: если $$\cos \alpha = \cos \beta,$$ то сравнение сводится к сравнению углов на промежутке длины $$2\pi$$ с учётом периодичности и чётности косинуса.

1. $$\cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{7}$$

   Так как на промежутке $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, а

   $$\frac{3\pi}{7} > \frac{2\pi}{7},$$

   то неравенство верно.

2. $$\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) > \cos\left(-\frac{2\pi}{7}\right)$$

   Косинус — чётная функция, значит

   $$\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)=\cos\frac{\pi}{7}, \qquad \cos\left(-\frac{2\pi}{7}\right)=\cos\frac{2\pi}{7}.$$

   Так как $$\frac{\pi}{7} < \frac{2\pi}{7},$$ а на $$[0;\pi]$$ косинус убывает, то неравенство верно.

3. $$\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{5\pi}{8}$$

   Число $$\frac{\pi}{8}$$ лежит в первой четверти, а $$\frac{5\pi}{8}$$ — во второй. На промежутке $$[0;\pi]$$ косинус убывает, поэтому

   $$\frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8} \Rightarrow \cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{5\pi}{8}.$$

4. $$\cos\left(-\frac{5\pi}{7}\right) < \cos\left(-\frac{3\pi}{7}\right)$$

   По чётности косинуса:

   $$\cos\left(-\frac{5\pi}{7}\right)=\cos\frac{5\pi}{7}, \qquad \cos\left(-\frac{3\pi}{7}\right)=\cos\frac{3\pi}{7}.$$

   Так как $$\frac{3\pi}{7} < \frac{5\pi}{7},$$ а косинус на $$[0;\pi]$$ убывает, то

   $$\cos\frac{5\pi}{7} < \cos\frac{3\pi}{7}.$$

5. $$\cos \frac{23\pi}{12} < \cos \frac{25\pi}{12}$$

   Приведём углы к промежутку $$[0;2\pi]$$:

   $$\frac{23\pi}{12}=\pi+\frac{11\pi}{12}, \qquad \frac{25\pi}{12}=2\pi+\frac{\pi}{12}.$$

   Тогда

   $$\cos \frac{23\pi}{12}=\cos\left(\pi+\frac{11\pi}{12}\right)=-\cos\frac{11\pi}{12},$$

   $$\cos \frac{25\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{12}.$$

   Поскольку $$\cos\frac{11\pi}{12}<0,$$ а $$\cos\frac{\pi}{12}>0,$$ то неравенство верно.

6. $$\cos \frac{5\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}$$

   Так как $$\frac{\pi}{9} < \frac{5\pi}{9}$$ и на $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, то

   $$\cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{5\pi}{9}.$$

Ответ

Все данные неравенства верны.