Упр.1.99 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
Любое натуральное число при делении на $3$ даёт один из трёх остатков: $0$, $1$ или $2$.
Рассмотрим все возможные случаи.
Если $$n=3k,$$ то
$$n^2=(3k)^2=9k^2,$$
значит, $n^2$ делится на $9$.
Если $$n=3k+1,$$ то
$$n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1.$$
Так как $$9k^2+6k=3(3k^2+2k),$$ то
$$n^2 \equiv 1 \pmod 3.$$
Следовательно, при делении на $3$ квадрат даёт остаток $1$.
Если $$n=3k+2,$$ то
$$n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4.$$
Поскольку $$9k^2+12k=3(3k^2+4k),$$ имеем
$$n^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3.$$
Значит, при делении на $3$ квадрат снова даёт остаток $1$.
Итак, квадрат любого натурального числа либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.
Ответ
Для любого натурального числа $n$ число $n^2$ либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.
