Упр.1.94 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. Если $$a \equiv b \pmod m$$ и $$b \equiv c \pmod m,$$ то $$a \equiv c \pmod m.$$

   Действительно, числа $$a-b$$ и $$b-c$$ делятся на $$m,$$ значит, на $$m$$ делится и их сумма:

   $$a-b+b-c=a-c.$$

2. Если $$a \equiv b \pmod m$$ и $$c \equiv d \pmod m,$$ то:

   а) $$a+c \equiv b+d \pmod m,$$

   б) $$a-c \equiv b-d \pmod m,$$

   в) $$ac \equiv bd \pmod m.$$

   Доказательство:

   а) так как $$a-b$$ и $$c-d$$ делятся на $$m,$$ то делится на $$m$$ и сумма

   $$a-b+c-d=(a+c)-(b+d).$$

   б) так как $$a-b$$ и $$c-d$$ делятся на $$m,$$ то делится на $$m$$ и разность

   $$a-b-(c-d)=(a-c)-(b-d).$$

   в) из $$a \equiv b \pmod m$$ следует $$a-b \equiv 0 \pmod m,$$ значит, $$a \cdot c \equiv b \cdot c \pmod m.$$

   Аналогично из $$c \equiv d \pmod m$$ получаем $$b \cdot c \equiv b \cdot d \pmod m.$$ Тогда по пункту 1:

   $$ac \equiv bc \equiv bd \pmod m,$$

   следовательно, $$ac \equiv bd \pmod m.$$

3. Если $$a \equiv b \pmod m,$$ то $$a^n \equiv b^n \pmod m$$ при любом $$n \in \mathbb{N}.$$

   Это следует из многократного применения свойства умножения:

   $$a \cdot a \equiv b \cdot b \pmod m,$$

   $$a^n \equiv b^n \pmod m.$$

4. Пусть $$P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$ — многочлен с целыми коэффициентами.

   Если $$a \equiv b \pmod m,$$ то по пункту 3 для каждого слагаемого имеем

   $$a_k a^k \equiv a_k b^k \pmod m.$$

   Тогда, складывая эти сравнения, получаем

   $$P_n(a) \equiv P_n(b) \pmod m.$$

Ответ

Если $$a \equiv b \pmod m$$ и $$b \equiv c \pmod m,$$ то $$a \equiv c \pmod m$$; если $$a \equiv b \pmod m$$ и $$c \equiv d \pmod m,$$ то $$a+c \equiv b+d \pmod m,$$ $$a-c \equiv b-d \pmod m,$$ $$ac \equiv bd \pmod m$$; кроме того, $$a^n \equiv b^n \pmod m$$ и для любого многочлена с целыми коэффициентами $$P_n(a) \equiv P_n(b) \pmod m.$$