Упр.1.91 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. Если число оканчивается цифрой $$0$$, то оно делится на $$10$$.

   Пусть число $$a$$ делится на $$10$$. Тогда $$a=10q$$, где $$q$$ — целое число. Значит, последняя цифра числа $$a$$ равна $$0$$.

   Следовательно, число делится на $$10$$ тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой $$0$$.

2. Чтобы число делилось на $$2$$, достаточно и необходимо, чтобы его последняя цифра была $$0, 2, 4, 6$$ или $$8$$.

   Пусть число $$a$$ делится на $$2$$. Тогда $$a=2q$$, где $$q$$ — целое число, значит, последняя цифра числа $$a$$ чётная.

   Обратно, если последняя цифра числа чётная, то число делится на $$2$$.

3. Чтобы число делилось на $$5$$, достаточно и необходимо, чтобы его последняя цифра была $$0$$ или $$5$$.

   Если $$a=5q$$, то последняя цифра числа $$a$$ равна $$0$$ или $$5$$. И наоборот, если число оканчивается на $$0$$ или $$5$$, то оно делится на $$5$$.

4. Число делится на $$3$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$3$$.

   Действительно, так как $$10 \equiv 1 \pmod{3}$$, то для числа $$a=a_0+a_1\cdot 10+a_2\cdot 10^2+\dots+a_n\cdot 10^n$$ имеем

   $$ a \equiv a_0+a_1+a_2+\dots+a_n \pmod{3}. $$

5. Число делится на $$9$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$9$$.

   Так как $$10 \equiv 1 \pmod{9}$$, то аналогично получаем

   $$ a \equiv a_0+a_1+a_2+\dots+a_n \pmod{9}. $$

6. Число делится на $$4$$ тогда и только тогда, когда число, составленное из его последних двух цифр, делится на $$4$$.

   Пусть $$a=a_{n-1}\cdot 10+a_n$$ по модулю $$4$$. Так как $$10^2 \equiv 0 \pmod{4}$$, то

   $$ a \equiv a_{n-1}\cdot 10+a_n \pmod{4}. $$

7. Число делится на $$25$$ тогда и только тогда, когда число, составленное из его последних двух цифр, делится на $$25$$.

   Так как $$10^2 \equiv 0 \pmod{25}$$, то

   $$ a \equiv a_{n-1}\cdot 10+a_n \pmod{25}. $$

Ответ

$$10$$ — последняя цифра $$0$$;
$$2$$ — последняя цифра чётная;
$$5$$ — последняя цифра $$0$$ или $$5$$;
$$3$$ — сумма цифр делится на $$3$$;
$$9$$ — сумма цифр делится на $$9$$;
$$4$$ — число, составленное из последних двух цифр, делится на $$4$$;
$$25$$ — число, составленное из последних двух цифр, делится на $$25$$.