Упр.1.90 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
Обозначим
$$M=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3,$$
где $$n$$ — любое натуральное число.
Рассмотрим три возможных случая по остатку числа $$n$$ при делении на $$3$$.
Если $$n=3m,$$ где $$m\in \mathbb{N},$$ то
$$ \begin{aligned} M&=(3m)^3+(3m+1)^3+(3m+2)^3 \\ &=27m^3+(27m^3+27m^2+9m+1)+(27m^3+54m^2+36m+8) \\ &=81m^3+81m^2+45m+9 \\ &=9(9m^3+9m^2+5m+1). \end{aligned} $$
Если $$n=3m+1,$$ где $$m\in \mathbb{N}\cup\{0\},$$ то
$$ \begin{aligned} M&=(3m+1)^3+(3m+2)^3+(3m+3)^3 \\ &= (27m^3+27m^2+9m+1)+(27m^3+54m^2+36m+8)+27m^3+81m^2+81m+27 \\ &=81m^3+162m^2+126m+36 \\ &=9(9m^3+18m^2+14m+4). \end{aligned} $$
Если $$n=3m+2,$$ где $$m\in \mathbb{N}\cup\{0\},$$ то
$$ \begin{aligned} M&=(3m+2)^3+(3m+3)^3+(3m+4)^3 \\ &= (27m^3+54m^2+36m+8)+27m^3+81m^2+81m+27 \\ &\quad +(27m^3+108m^2+144m+64) \\ &=81m^3+243m^2+261m+99 \\ &=9(9m^3+27m^2+29m+11). \end{aligned} $$
Во всех трёх случаях сумма $$M$$ делится на $$9$$.
Ответ
$$n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.
