Упр.1.89 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть искомое число равно $$x$$. По условию при делении на $$4$$ оно даёт остаток $$3$$, при делении на $$3$$ — остаток $$2$$, при делении на $$2$$ — остаток $$1$$.

Заметим, что число $$x-3$$ делится на $$4$$, $$3$$ и $$2$$ одновременно. Значит, $$x-3$$ делится на их наименьшее общее кратное:

$$\operatorname{lcm}(4,3,2)=12.$$

Следовательно,

$$x-3=12k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=12k+3,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Проверка: число вида $$12k+3$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$3$$, при делении на $$3$$ — остаток $$0$$, а нам нужен остаток $$2$$. Значит, такое рассуждение неверно: нужно учитывать все условия одновременно.

Рассмотрим числа по модулю $$12$$. Ищем число, которое при делении на $$4$$ даёт остаток $$3$$, при делении на $$3$$ — остаток $$2$$, при делении на $$2$$ — остаток $$1$$. Переберём остатки от $$0$$ до $$11$$:

• $$11$$: $$11:4$$ остаток $$3$$, $$11:3$$ остаток $$2$$, $$11:2$$ остаток $$1$$.

Значит, все такие числа имеют вид

$$x=12k+11,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$12k+11,\quad k\in \mathbb{Z}.$$