Упр.1.82 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Представим каждую дробь в виде разности:

   $$ \frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2},\quad \frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\quad \ldots,\quad \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}. $$

   Тогда

   $$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)} =1-\frac{1}{n+1}. $$

   Так как $$\frac{1}{n+1}>0,$$ то

   $$ 1-\frac{1}{n+1}<1. $$

2. б) Аналогично:

   $$ \frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5},\quad \frac{1}{5\cdot 6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6},\quad \ldots,\quad \frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}. $$

   Складывая, получаем

   $$ \frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\ldots+\frac{1}{(n+3)(n+4)} =\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}. $$

   Поскольку $$\frac{1}{n+4}>0,$$ то

   $$ \frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}<\frac{1}{4}. $$

3. в) Заметим, что

   $$ \frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right),\quad \frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right),\quad \ldots,\quad \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). $$

   Тогда

   $$ \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right). $$

   Так как $$\frac{1}{2n+1}>0,$$ то

   $$ \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac{1}{2}. $$

4. г) Используем разложение

   $$ \frac{1}{k^2}=\frac{1}{(k-1)(k+1)}+\frac{1}{k^2-1}, $$

   а удобнее сразу записать:

   $$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots+\frac{1}{(2n)^2} <\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\ldots+\frac{1}{(2n)^2-1}. $$

   Далее

   $$ \frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right), $$

   $$ \frac{1}{4^2-1}=\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right), $$

   и вообще

   $$ \frac{1}{(2k)^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right). $$

   Поэтому

   $$ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\ldots+\frac{1}{(2n)^2-1} =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac{1}{2}. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots+\frac{1}{(2n)^2}<\frac{1}{2}. $$

5. д) Для каждого слагаемого имеем

   $$ \frac{1}{(2k+1)^2}<\frac{1}{(2k)^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right). $$

   Тогда

   $$ \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)^2} <\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}\right) <\frac{1}{4}. $$

6. е) Преобразуем разность:

   $$ \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3} =\frac{(n+3)-(n+1)}{(n+1)(n+3)} =\frac{2}{(n+1)(n+3)}. $$

   Сравним знаменатели:

   $$ (n+2)^2-1=(n+1)(n+3). $$

   Значит,

   $$ \frac{2}{(n+2)^2}<\frac{2}{(n+2)^2-1} =\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}<1$$;
б) $$\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\ldots+\frac{1}{(n+3)(n+4)}<\frac{1}{4}$$;
в) $$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<\frac{1}{2}$$;
г) $$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{(2n)^2}<\frac{1}{2}$$;
д) $$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)^2}<\frac{1}{4}$$;
е) $$\frac{2}{(n+2)^2}<\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$$.