Упр.1.79 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Обозначим

$$ A=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{79}{80},\qquad B=\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdot\dots\cdot\frac{80}{81}. $$

Сравним соответствующие множители:

$$ \frac12<\frac23,\quad \frac34<\frac45,\quad \frac56<\frac67,\quad \dots,\quad \frac{79}{80}<\frac{80}{81}. $$

Значит, $$A<B.$$

Перемножим произведения:

$$ AB=\left(\frac12\cdot\frac23\right)\left(\frac34\cdot\frac45\right)\left(\frac56\cdot\frac67\right)\cdots\left(\frac{79}{80}\cdot\frac{80}{81}\right) =\frac1{81}. $$

Так как $$A>0,$$ то из $$A<B$$ следует

$$ A^2<AB=\frac1{81}. $$

Следовательно,

$$ A<\frac19. $$

б) Пусть

$$ A=\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdot\dots\cdot\frac{240}{241},\qquad B=\frac34\cdot\frac56\cdot\frac78\cdot\dots\cdot\frac{241}{242}. $$

Тогда

$$ \frac23<\frac34,\quad \frac45<\frac56,\quad \frac67<\frac78,\quad \dots,\quad \frac{240}{241}<\frac{241}{242}, $$

значит, $$A<B.$$

Перемножим:

$$ AB=\left(\frac23\cdot\frac34\right)\left(\frac45\cdot\frac56\right)\left(\frac67\cdot\frac78\right)\cdots\left(\frac{240}{241}\cdot\frac{241}{242}\right) =\frac{2}{242}=\frac1{121}. $$

Так как $$A>0,$$ то

$$ A^2<AB=\frac1{121}, $$

откуда

$$ A<\frac1{11}. $$