Упр.1.77 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) Пусть $$a+b\ge 0.$$ Тогда

   $$ (a+b)(a-b)^2\ge 0. $$
   Раскроем скобки:
   $$ (a+b)(a^2-2ab+b^2)\ge 0, $$
   $$ a^3+b^3-a^2b-ab^2-a b^2-a^2b\ge 0, $$
   откуда
   $$ a^3+b^3\ge a^2b+ab^2. $$

2. б) Пусть $$a>0.$$ Тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

   $$ \frac{a+\frac1a}{2}\ge \sqrt{a\cdot \frac1a}=1. $$
   Значит,
   $$ a+\frac1a\ge 2. $$

3. в) Пусть $$a\ne 0.$$ Из условия $$a^2+\frac1{a^2}\ge 2$$ следует

   $$ a^2+\frac1{a^2}-2\ge 0, $$
   $$ \left(a-\frac1a\right)^2\ge 0. $$
   Следовательно,
   $$ a^2+\frac1{a^2}\ge 2. $$

4. г) Пусть $$ab>0.$$ Тогда

   $$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2, $$
   так как
   $$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0. $$

5. д) Пусть $$a>0,\ b>0.$$ Тогда

   $$ \sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}. $$
   Действительно, это равносильно неравенству
   $$ 2\sqrt{ab}\le a+b, $$
   а оно верно по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим.

6. е) Пусть $$ab>0.$$ Тогда

   $$ (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4. $$
   Имеем
   $$ (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)=\frac{(a+b)^2}{ab}. $$
   Поэтому достаточно доказать, что
   $$ (a+b)^2\ge 4ab, $$
   а это верно, так как
   $$ (a-b)^2\ge 0. $$

7. ж) Пусть $$a+b\ge 0,\ a\ne 0,\ b\ne 0.$$ Тогда

   $$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac1a+\frac1b. $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\frac1a-\frac1b = \frac{a^3+b^3-a^2b-ab^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)(a-b)^2}{a^2b^2}\ge 0. $$

8. и) Пусть $$a>0,\ b>0,\ c>0.$$ Тогда

   $$ \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c. $$
   По неравенству AM-GM:
   $$ \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2a,\qquad \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2b,\qquad \frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge 2c. $$
   Складывая эти неравенства, получаем
   $$ 2\left(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\right)\ge 2(a+b+c), $$
   откуда
   $$ \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c. $$

Ответ

а) $$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$$;
б) $$a+\frac1a\ge 2$$;
в) $$a^2+\frac1{a^2}\ge 2$$;
г) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$$;
д) $$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}$$;
е) $$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4$$;
ж) $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac1a+\frac1b$$;
и) $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c$$.