Упр.1.77 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. а) Пусть $$a+b\ge 0.$$ Тогда

   $$(a+b)(a-b)^2\ge 0.$$
   Раскроем скобки:
   $$(a+b)(a^2-2ab+b^2)\ge 0,$$
   $$a^3+b^3-a^2b-ab^2-a b^2-a^2b\ge 0,$$
   откуда
   $$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2.$$

2. б) Пусть $$a>0.$$ Тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

   $$\frac{a+\frac1a}{2}\ge \sqrt{a\cdot \frac1a}=1.$$
   Значит,
   $$a+\frac1a\ge 2.$$

3. в) Пусть $$a\ne 0.$$ Из условия $$a^2+\frac1{a^2}\ge 2$$ следует

   $$a^2+\frac1{a^2}-2\ge 0,$$
   $$\left(a-\frac1a\right)^2\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$a^2+\frac1{a^2}\ge 2.$$

4. г) Пусть $$ab>0.$$ Тогда

   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2,$$
   так как
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

5. д) Пусть $$a>0,\ b>0.$$ Тогда

   $$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}.$$
   Действительно, это равносильно неравенству
   $$2\sqrt{ab}\le a+b,$$
   а оно верно по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим.

6. е) Пусть $$ab>0.$$ Тогда

   $$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4.$$
   Имеем
   $$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)=\frac{(a+b)^2}{ab}.$$
   Поэтому достаточно доказать, что
   $$(a+b)^2\ge 4ab,$$
   а это верно, так как
   $$(a-b)^2\ge 0.$$

7. ж) Пусть $$a+b\ge 0,\ a\ne 0,\ b\ne 0.$$ Тогда

   $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac1a+\frac1b.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\frac1a-\frac1b = \frac{a^3+b^3-a^2b-ab^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)(a-b)^2}{a^2b^2}\ge 0.$$

8. и) Пусть $$a>0,\ b>0,\ c>0.$$ Тогда

   $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c.$$
   По неравенству AM-GM:
   $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2a,\qquad \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2b,\qquad \frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge 2c.$$
   Складывая эти неравенства, получаем
   $$2\left(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\right)\ge 2(a+b+c),$$
   откуда
   $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c.$$

Ответ

а) $$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$$;
б) $$a+\frac1a\ge 2$$;
в) $$a^2+\frac1{a^2}\ge 2$$;
г) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$$;
д) $$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}$$;
е) $$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4$$;
ж) $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac1a+\frac1b$$;
и) $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c$$.