Упр.1.74 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Пусть множество $$M$$ содержит $$n$$ элементов. Тогда число его подмножеств, содержащих:

$$0$$ элементов, равно $$C_n^0=1$$;
$$1$$ элемент, равно $$C_n^1=n$$;
$$2$$ элемента, равно $$C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2!}$$;
$$\dots$$
$$n$$ элементов, равно $$C_n^n=1$$.

Следовательно, общее число всех подмножеств множества $$M$$ равно

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n.$$

Докажем по индукции, что

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n=2^n.$$

1) При $$n=1$$ имеем

$$C_1^0+C_1^1=1+1=2=2^1.$$

2) Предположим, что для некоторого $$k$$ верно

$$C_k^0+C_k^1+C_k^2+\dots+C_k^k=2^k.$$

3) Докажем, что тогда

$$C_{k+1}^0+C_{k+1}^1+C_{k+1}^2+\dots+C_{k+1}^{k+1}=2^{k+1}.$$

Используем формулу Паскаля:

$$C_{k+1}^m=C_k^{m-1}+C_k^m \qquad (1\le m\le k).$$

Тогда

$$ \begin{aligned} C_{k+1}^0+C_{k+1}^1+\dots+C_{k+1}^{k+1} &=C_k^0+(C_k^0+C_k^1)+(C_k^1+C_k^2)+\dots+(C_k^{k-1}+C_k^k)+C_k^k \\ &=2\bigl(C_k^0+C_k^1+\dots+C_k^k\bigr). \end{aligned} $$

По предположению индукции

$$2\bigl(C_k^0+C_k^1+\dots+C_k^k\bigr)=2\cdot 2^k=2^{k+1}.$$

Значит, равенство верно для любого натурального $$n$$.