Раздел1.7 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Для доказательства числовых неравенств удобно использовать свойства равносильных преобразований:

если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства не изменится;
если обе части умножить на одно и то же положительное число, знак неравенства не изменится;
если обе части возвести в квадрат и при этом они неотрицательны, знак неравенства сохраняется.

Например, неравенство $$a^2+b^2\ge 2ab$$ доказывается так:

$$ a^2+b^2-2ab\ge 0 $$
$$ (a-b)^2\ge 0 $$

Последнее неравенство верно для любых действительных чисел $$a$$ и $$b$$, значит, верно и исходное.

Аналогично доказываются и другие неравенства: их сводят к очевидно верным утверждениям вида $$x^2\ge 0$$, $$x\ge 0$$ или к сравнению после последовательных равносильных преобразований.

Примеры таких преобразований:

$$ \sqrt{11}+\sqrt{2}\ ?\ 3+\sqrt{3} $$
$$ (\sqrt{11}+\sqrt{2})^2=13+2\sqrt{22} $$
$$ (3+\sqrt{3})^2=12+6\sqrt{3} $$
$$ 1+2\sqrt{22}\ ?\ 6\sqrt{3} $$
$$ (1+2\sqrt{22})^2\ ?\ (6\sqrt{3})^2 $$
$$ 352<361 $$

Следовательно, $$\sqrt{11}+\sqrt{2}<3+\sqrt{3}$$.

Если требуется доказать равенство вида

$$ \sqrt{3+\sqrt{3}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}=\sqrt{3}+1, $$

то достаточно возвести обе части в квадрат и последовательно упростить выражения, используя свойства корней и степеней.

При доказательстве неравенства

$$ \frac{a^2}{1+a^4}\le \frac12 $$

получаем:

$$ \frac{a^2}{1+a^4}\le \frac12 $$
$$ 2a^2\le 1+a^4 $$
$$ 0\le 1-2a^2+a^4 $$
$$ 0\le (1-a^2)^2 $$

Так как $$ (1-a^2)^2\ge 0 $$ при любом $$a\in\mathbb R$$, неравенство верно.