Упр.1.45 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим выражение $$a^n-1$$.

1) При $$n=3$$ получаем:

$$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).$$

2) Пусть верно, что при некотором $$n=k$$

$$a^k-1=(a-1)(a^{k-1}+a^{k-2}+\dots+a+1).$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$ a^{k+1}-1=a\cdot a^k-1=a(a^k-1)+(a-1). $$

Подставим предположение индукции:

$$ a^{k+1}-1=a(a-1)(a^{k-1}+a^{k-2}+\dots+a+1)+(a-1). $$

Вынесем $$a-1$$ за скобки:

$$ a^{k+1}-1=(a-1)\bigl(a^k+a^{k-1}+\dots+a+1\bigr). $$

Значит, формула верна и для $$n=k+1$$.

Следовательно, для любого натурального $$n$$

$$ a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1). $$

Ответ

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1).$$