Упр.1.44 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Рассмотрим математическую индукцию.

1) При $$n=1$$ имеем $$7^1+9=16,$$ а число $$16$$ делится на $$8$$. Значит, утверждение верно.

2) Пусть при некотором $$n=k$$ выражение $$7^k+9$$ делится на $$8$$, то есть $$7^k+9=8m$$, где $$m\in \mathbb{N}$$.

3) Докажем, что тогда $$7^{k+2}+9$$ тоже делится на $$8$$:

$$ 7^{k+2}+9=49\cdot 7^k+9=48\cdot 7^k+(7^k+9). $$

Так как $$48\cdot 7^k$$ делится на $$8$$, а по предположению индукции $$7^k+9$$ делится на $$8$$, то и сумма $$7^{k+2}+9$$ делится на $$8$$.

Следовательно, если утверждение верно для $$n=k$$, то оно верно и для $$n=k+2$$. Значит, по математической индукции $$7^n+9$$ делится на $$8$$ для всех нечётных натуральных $$n$$.