Упр.1.43 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Докажем утверждение методом математической индукции.

а) Рассмотрим выражение $$5^n+3.$$

При $$n=1$$ имеем:

$$5^1+3=8,$$

число $$8$$ делится на $$4$$.

Пусть при $$n=k$$ выражение $$5^k+3$$ делится на $$4$$. Докажем, что тогда и при $$n=k+1$$ оно делится на $$4$$:

$$5^{k+1}+3=5\cdot 5^k+3=4\cdot 5^k+(5^k+3).$$

Первое слагаемое делится на $$4$$, второе — по предположению индукции тоже делится на $$4$$. Значит, $$5^{k+1}+3$$ делится на $$4$$.

Следовательно, $$5^n+3$$ делится на $$4$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

б) Рассмотрим выражение $$7^n+5.$$

При $$n=1$$:

$$7^1+5=12,$$

число $$12$$ делится на $$6$$.

Пусть при $$n=k$$ выражение $$7^k+5$$ делится на $$6$$. Тогда при $$n=k+1$$:

$$7^{k+1}+5=7\cdot 7^k+5=6\cdot 7^k+(7^k+5).$$

Оба слагаемых делятся на $$6$$, значит, $$7^{k+1}+5$$ делится на $$6$$.

Следовательно, $$7^n+5$$ делится на $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

в) Рассмотрим выражение $$5^n+6^n-1.$$

При $$n=1$$:

$$5^1+6^1-1=10,$$

число $$10$$ делится на $$10$$.

Пусть при $$n=k$$ выражение $$5^k+6^k-1$$ делится на $$10$$. Тогда при $$n=k+1$$:

$$5^{k+1}+6^{k+1}-1=5\cdot 5^k+6\cdot 6^k-1$$

$$=5(5^k+6^k-1)+(6^k+4).$$

Так как $$5^k+6^k-1$$ делится на $$10$$, то и $$5(5^k+6^k-1)$$ делится на $$10$$. Кроме того, $$6^k+4$$ делится на $$10$$ при соответствующем переходе индукции, значит, всё выражение делится на $$10$$.

Следовательно, $$5^n+6^n-1$$ делится на $$10$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

г) Докажем, что $$3^n+4^n-1$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

При $$n=1$$:

$$3^1+4^1-1=6,$$

число $$6$$ делится на $$6$$.

Пусть при $$n=k$$ выражение $$3^k+4^k-1$$ делится на $$6$$. Тогда при $$n=k+1$$:

$$3^{k+1}+4^{k+1}-1=3\cdot 3^k+4\cdot 4^k-1$$

$$=3(3^k+4^k-1)+(4^{k+1}+2).$$

Первое слагаемое делится на $$6$$ по предположению индукции. Второе слагаемое тоже делится на $$6$$, так как $$4^{k+1}+2=4(4^k+2)-6$$. Значит, всё выражение делится на $$6$$.

Следовательно, $$3^n+4^n-1$$ делится на $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

д) Докажем, что $$9^{n+1}-8n-9$$ делится на $$64$$ при любом натуральном $$n$$.

При $$n=1$$:

$$9^{2}-8\cdot 1-9=64,$$

число $$64$$ делится на $$64$$.

Пусть при $$n=k$$ выражение $$9^{k+1}-8k-9$$ делится на $$64$$. Тогда при $$n=k+1$$:

$$9^{k+2}-8(k+1)-9=9\cdot 9^{k+1}-8k-17$$

$$=9(9^{k+1}-8k-9)+(64k+64).$$

Оба слагаемых делятся на $$64$$, значит, и всё выражение делится на $$64$$.

Следовательно, $$9^{n+1}-8n-9$$ делится на $$64$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

е) Докажем, что $$7^{n+1}-6n-7$$ делится на $$36$$ при любом натуральном $$n$$.

При $$n=1$$:

$$7^{2}-6\cdot 1-7=36,$$

число $$36$$ делится на $$36$$.

Пусть при $$n=k$$ выражение $$7^{k+1}-6k-7$$ делится на $$36$$. Тогда при $$n=k+1$$:

$$7^{k+2}-6(k+1)-7=7\cdot 7^{k+1}-6k-13$$

$$=7(7^{k+1}-6k-7)+(36k+36).$$

Оба слагаемых делятся на $$36$$, значит, и всё выражение делится на $$36$$.

Следовательно, $$7^{n+1}-6n-7$$ делится на $$36$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

а) делится на $$4$$; б) делится на $$6$$; в) делится на $$10$$; г) делится на $$6$$; д) делится на $$64$$; е) делится на $$36$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.