Упр.1.42 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Докажем по индукции формулу

$$1^5+2^5+\dots+n^5=\frac{1}{12}\left(2n^6+6n^5+5n^4-n^2\right).$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$1^5=\frac{1}{12}(2+6+5-1)=\frac{12}{12}=1.$$

Формула верна.

2. Индукционное предположение. Пусть при $$n=k$$ верно

$$1^5+2^5+\dots+k^5=\frac{1}{12}\left(2k^6+6k^5+5k^4-k^2\right).$$

3. Переход к $$n=k+1$$. Тогда

$$ \begin{aligned} 1^5+2^5+\dots+k^5+(k+1)^5 &=\frac{1}{12}\left(2k^6+6k^5+5k^4-k^2\right)+(k+1)^5 \\ &=\frac{1}{12}\left(2k^6+6k^5+5k^4-k^2+12(k+1)^5\right). \end{aligned} $$

Раскроем скобки:

$$ 12(k+1)^5=12k^5+60k^4+120k^3+120k^2+60k+12. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} 1^5+2^5+\dots+k^5+(k+1)^5 &=\frac{1}{12}\Bigl(2k^6+18k^5+65k^4+120k^3+119k^2+60k+12\Bigr). \end{aligned} $$

С другой стороны,

$$ \frac{1}{12}\left(2(k+1)^6+6(k+1)^5+5(k+1)^4-(k+1)^2\right) $$

после раскрытия скобок даёт тот же многочлен, значит

$$1^5+2^5+\dots+(k+1)^5=\frac{1}{12}\left(2(k+1)^6+6(k+1)^5+5(k+1)^4-(k+1)^2\right).$$

Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.