Упр.1.41 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Докажем по индукции, что

$$1^4+2^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right), \quad n\in \mathbb{N}.$$

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$1^4=\frac{1}{30}(6\cdot 1^5+15\cdot 1^4+10\cdot 1^3-1)=\frac{1}{30}(6+15+10-1)=1.$$

Тождество верно.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$1^4+2^4+\dots+k^4=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k\right).$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1^4+2^4+\dots+k^4+(k+1)^4 &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k\right)+(k+1)^4 \\ &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k+30(k+1)^4\right) \\ &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k+30k^4+120k^3+180k^2+120k+30\right) \\ &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15(k+1)^4+10(k+1)^3-(k+1)\right). \end{aligned} $$

Следовательно, формула верна и для $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции

$$1^4+2^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right)$$

верно для всех $$n\in\mathbb{N}$$.

Ответ

$$1^4+2^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right), \quad n\in\mathbb{N}.$$