Упр.1.41 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Докажем по индукции, что

$$1^4+2^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right), \quad n\in \mathbb{N}.$$

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$1^4=\frac{1}{30}(6\cdot 1^5+15\cdot 1^4+10\cdot 1^3-1)=\frac{1}{30}(6+15+10-1)=1.$$

Тождество верно.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$1^4+2^4+\dots+k^4=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k\right).$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$\begin{aligned} 1^4+2^4+\dots+k^4+(k+1)^4 &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k\right)+(k+1)^4 \\ &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k+30(k+1)^4\right) \\ &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15k^4+10k^3-k+30k^4+120k^3+180k^2+120k+30\right) \\ &=\frac{1}{30}\left(6k^5+15(k+1)^4+10(k+1)^3-(k+1)\right). \end{aligned}$$

Следовательно, формула верна и для $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции

$$1^4+2^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right)$$

верно для всех $$n\in\mathbb{N}$$.

Ответ

$$1^4+2^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right), \quad n\in\mathbb{N}.$$