Упр.1.40 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Докажем равенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^3=1^2,$$

то есть утверждение верно.

2) Индукционное предположение. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=(1+2+3+\dots+k)^2.$$

3) Индукционный переход. Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+\dots+k+(k+1))^2.$$

По предположению индукции

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=(1+2+3+\dots+k)^2,$$

поэтому

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+\dots+k)^2+(k+1)^3.$$

Так как

$$1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2},$$

то

$$\begin{aligned} (1+2+\dots+k)^2+(k+1)^3 &=(1+2+\dots+k)^2+2(1+2+\dots+k)(k+1)+(k+1)^2 \\ &=(1+2+\dots+k+(k+1))^2. \end{aligned}$$

Следовательно, утверждение верно для $$n=k+1$$.

Значит, по принципу математической индукции

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$$

верно для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2.$$