Упр.1.39 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Докажем формулу по индукции.

а) При $$n=1$$ имеем

$$1^2=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}.$$

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2 &=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 \\ &=\frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+6(k+1)\bigr)}{6} \\ &=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} \\ &=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. \end{aligned} $$

Это и есть формула при $$n=k+1$$, значит, по индукции

$$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

б) При $$n=1$$ имеем

$$1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4}.$$

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$1^3+2^3+\dots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3 &=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 \\ &=\frac{(k+1)^2\bigl(k^2+4k+4\bigr)}{4} \\ &=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}. \end{aligned} $$

Следовательно,

$$1^3+2^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$