Упр.1.38 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) Докажем по индукции неравенство

   $$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<\frac12.$$

   При $$n=1$$:

   $$\frac{1}{1\cdot 3}=\frac13<\frac12.$$

   Пусть при $$n=k$$ неравенство верно:

   $$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}<\frac12.$$

   Тогда при $$n=k+1$$

   $$ \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} $$
   $$ <\frac12+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}. $$

   Но

   $$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}<\frac{1}{2(2k+3)},$$

   поэтому

   $$\frac12+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}<\frac12+\frac{1}{2(2k+3)}<\frac12.$$

   Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

2. б) Докажем по индукции неравенство

   $$\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}<\frac13.$$

   При $$n=1$$:

   $$\frac{1}{1\cdot 4}=\frac14<\frac13.$$

   Пусть при $$n=k$$ неравенство верно:

   $$\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}<\frac13.$$

   Тогда при $$n=k+1$$

   $$ \frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}+\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} $$
   $$ <\frac13+\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}. $$

   Так как

   $$\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}<\frac{1}{3(3k+4)},$$

   то

   $$\frac13+\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}<\frac13+\frac{1}{3(3k+4)}<\frac13.$$

   Значит, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

3. в) Докажем по индукции неравенство

   $$\frac{1}{1\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 15}+\frac{1}{15\cdot 22}+\cdots+\frac{1}{(7n-6)(7n+1)}<\frac17.$$

   При $$n=1$$:

   $$\frac{1}{1\cdot 8}=\frac18<\frac17.$$

   Пусть при $$n=k$$ неравенство верно:

   $$\frac{1}{1\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 15}+\cdots+\frac{1}{(7k-6)(7k+1)}<\frac17.$$

   Тогда при $$n=k+1$$

   $$ \frac{1}{1\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 15}+\cdots+\frac{1}{(7k-6)(7k+1)}+\frac{1}{(7k+1)(7k+8)} $$
   $$ <\frac17+\frac{1}{(7k+1)(7k+8)}. $$

   Поскольку

   $$\frac{1}{(7k+1)(7k+8)}<\frac{1}{7(7k+8)},$$

   получаем

   $$\frac17+\frac{1}{(7k+1)(7k+8)}<\frac17+\frac{1}{7(7k+8)}<\frac17.$$

   Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

4. г) Докажем по индукции неравенство

   $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{3n+1}>1.$$

   При $$n=1$$:

   $$\frac12+\frac13+\frac14=\frac{13}{12}>1.$$

   Пусть при $$n=k$$ неравенство верно:

   $$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{3k+1}>1.$$

   Тогда при $$n=k+1$$

   $$ \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{3k+4} $$
   $$ >\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{3k+1}. $$

   Так как все слагаемые положительны, а

   $$\frac{1}{3(k+1)+1}=\frac{1}{3k+4}>0,$$

   то сумма остаётся больше $$1$$. Значит, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

Во всех пунктах неравенства верны для любого натурального $$n$$.