Упр.1.37 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Докажем неравенство $$1+2+\dots+n<n^2$$ при $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 2$$ методом математической индукции.
При $$n=2$$ имеем:
$$1+2=3<4=2^2.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1+2+\dots+k<k^2.$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$1+2+\dots+k+(k+1)<(k+1)^2.$$
Из предположения индукции:
$$1+2+\dots+k+(k+1)<k^2+(k+1).$$
Так как
$$k^2+k<k^2+2k+1=(k+1)^2,$$
то
$$1+2+\dots+n<n^2$$
для всех $$n\ge 2$$.
Докажем неравенство $$2^n>5n+1$$ при $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 5$$.
При $$n=5$$:
$$2^5=32>26=5\cdot 5+1.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$2^k>5k+1.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(5k+1)=10k+2.$$
Осталось показать, что
$$10k+2\ge 5(k+1)+1=5k+6.$$
Это верно, так как
$$10k+2-(5k+6)=5k-4>0 \quad \text{при } k\ge 5.$$
Следовательно, $$2^n>5n+1$$ для всех $$n\ge 5$$.
Докажем неравенство $$2^n>n^2$$ при $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 4$$.
При $$n=4$$:
$$2^4=16>16$$ — неверно, значит основание нужно начинать с $$n=5$$.
При $$n=5$$:
$$2^5=32>25=5^2.$$
Пусть при $$n=k\ge 5$$ верно:
$$2^k>k^2.$$
Тогда
$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2k^2.$$
Достаточно проверить, что
$$2k^2\ge (k+1)^2.$$
Имеем
$$2k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1>0 \quad \text{при } k\ge 3.$$
Значит, $$2^n>n^2$$ для всех $$n\ge 5$$.
Докажем неравенство $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n\ge 2^{\,n-1}$$ при $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 3$$.
При $$n=3$$:
$$1\cdot 2\cdot 3=6\ge 4=2^{3-1}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k\ge 2^{k-1}.$$
Тогда
$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k\cdot (k+1)\ge 2^{k-1}(k+1).$$
Так как $$k+1\ge 2$$, то
$$2^{k-1}(k+1)\ge 2^k.$$
Следовательно,
$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n\ge 2^{\,n-1}$$
для всех $$n\ge 3$$.
Докажем неравенство
$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\dots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n,\quad n\in \mathbb{N},\ n\ge 2.$$
При $$n=2$$:
$$1+\frac1{\sqrt2}>\sqrt2,$$
так как
$$1+\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2}>\sqrt2.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\dots+\frac1{\sqrt k}>\sqrt k.$$
Тогда
$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\dots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}.$$
Достаточно показать, что
$$\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$$
Это равносильно
$$\sqrt k-\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}>0,$$
и при $$k\ge 2$$ правая часть положительна. Значит,
$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\dots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n$$
для всех $$n\ge 2$$.