Упр.1.36 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Докажем по индукции неравенство $$2+4+\dots+2n<(n+1)^2.$$
При $$n=1$$ имеем $$2<4,$$ верно.
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$2+4+\dots+2k<(k+1)^2.$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$2+4+\dots+2k+2(k+1)<(k+2)^2.$$
Из предположения индукции:
$$2+4+\dots+2k+2(k+1)<(k+1)^2+2(k+1)=(k+2)^2-1<(k+2)^2.$$
б) Докажем по индукции неравенство
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2n}{2n+1}>\frac1{2n}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac23>\frac12,$$ верно.
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2k}{2k+1}>\frac1{2k}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2k}{2k+1}\cdot\frac{2(k+1)}{2(k+1)+1} > \frac1{2k}\cdot\frac{2(k+1)}{2k+3}.$$
Нужно проверить, что
$$\frac1{2k}\cdot\frac{2(k+1)}{2k+3}>\frac1{2(k+1)}.$$
Это равносильно
$$\frac{k+1}{k(2k+3)}>\frac1{2(k+1)},$$
или
$$2(k+1)^2>k(2k+3),$$
что верно, так как
$$2k^2+4k+2>2k^2+3k.$$
в) Докажем по индукции неравенство
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac{2n}{2n+1}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac12<\frac23,$$ верно.
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2k-1}{2k}<\frac{2k}{2k+1}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{2k}{2k+1}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}=\frac{k}{k+1}.$$
Остаётся заметить, что
$$\frac{k}{k+1}<\frac{2k+2}{2k+3},$$
так как
$$k(2k+3)<(k+1)(2k+2).$$
г) Докажем по индукции неравенство $$4^n>7n-5.$$
При $$n=1$$:
$$4>2,$$ верно.
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$4^k>7k-5.$$
Тогда
$$4^{k+1}=4\cdot4^k>4(7k-5)=28k-20.$$
Сравним с $$7(k+1)-5=7k+2$$:
$$28k-20-(7k+2)=21k-22\ge 0 \quad \text{при } k\ge 2.$$
Значит, для всех $$n\ge 2$$ выполняется
$$4^{k+1}>7(k+1)-5.$$