Упр.1.35 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Докажем по индукции формулу
$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
При $$n=1$$ имеем
$$1=\frac{1\cdot 2}{2}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}.$$
Тогда для $$n=k+1$$
$$ 1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}. $$
Значит, формула верна для всех $$n\in N$$.
Докажем формулу
$$2+4+6+\dots+2n=n(n+1).$$
При $$n=1$$:
$$2=1\cdot 2.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$2+4+\dots+2k=k(k+1).$$
Тогда для $$n=k+1$$
$$ 2+4+\dots+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2). $$
Следовательно, утверждение верно для всех $$n\in N$$.
Докажем формулу
$$3+12+3\cdot 4^2+\dots+3\cdot 4^{\,n-1}=4^n-1.$$
При $$n=1$$:
$$3=4-1.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$3+12+\dots+3\cdot 4^{\,k-1}=4^k-1.$$
Тогда для $$n=k+1$$
$$ 3+12+\dots+3\cdot 4^{\,k-1}+3\cdot 4^k =(4^k-1)+3\cdot 4^k=4^{k+1}-1. $$
Значит, формула верна для всех $$n\in N$$.
Докажем формулу
$$\frac12+\frac13+\frac14+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac1{1\cdot 2}=\frac12.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$\frac12+\frac13+\dots+\frac1{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}.$$
Тогда для $$n=k+1$$
$$ \frac12+\frac13+\dots+\frac1{k(k+1)}+\frac1{(k+1)(k+2)} =\frac{k}{k+1}+\frac1{(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{k+2}. $$
Следовательно, утверждение верно для всех $$n\in N$$.