Упр.1.34 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Докажем утверждения по отдельности.

а) Пусть $$a^2>0.$$ Тогда при любом натуральном $$n$$ число $$n$$ можно представить в виде $$n=2k$$ или $$n=2k+1$$.

Если $$n=2k,$$ то

$$a^n=a^{2k}=(a^2)^k>0.$$

Если $$n=2k+1,$$ то

$$a^n=a^{2k+1}=a\cdot (a^2)^k.$$

Так как $$a^2>0,$$ то $$a\neq 0,$$ а значит знак $$a^n$$ определяется знаком $$a$$. Но при условии $$a^2>0$$ число $$a$$ может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому для всех натуральных $$n$$ верно именно утверждение о чётных степенях:

$$a^{2k}=(a^2)^k>0.$$

Следовательно, если $$a^2>0,$$ то для любого натурального $$n$$ с чётным показателем степень положительна.

б) Пусть $$a^2<0.$$ Тогда число $$a$$ не является действительным, поэтому в действительных числах такое невозможно. Следовательно, в области действительных чисел условие $$a^2<0$$ невыполнимо.

Если же рассматривать формальные преобразования степеней, то при нечётном показателе знак степени сохраняется, а при чётном — нет. Поэтому для нечётных степеней знак выражения совпадает со знаком основания.

Итак, при нечётном $$n$$ знак $$a^n$$ совпадает со знаком $$a$$.