Упр.1.32 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Докажем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+(n-1)d.$$
При $n=1$ получаем:
$$a_1=a_1+(1-1)d=a_1.$$
Пусть формула верна при $n=k$, то есть
$$a_k=a_1+(k-1)d.$$
Тогда для следующего члена:
$$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd.$$
Значит, формула верна и для $n=k+1$. Следовательно,
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
верна для всех $n\in \mathbb{N}$.
Докажем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:
$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$
При $n=1$:
$$b_1=b_1q^{\,1-1}=b_1.$$
Пусть формула верна при $n=k$, то есть
$$b_k=b_1q^{\,k-1}.$$
Тогда
$$b_{k+1}=b_kq=b_1q^{\,k-1}\cdot q=b_1q^k.$$
Следовательно,
$$b_n=b_1q^{\,n-1}$$
верна для всех $n\in \mathbb{N}$.
Докажем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$
При $n=1$:
$$S_1=a_1=\frac{2a_1+(1-1)d}{2}\cdot 1.$$
Пусть формула верна при $n=k$:
$$S_k=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k.$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}.$$
Подставим:
$$ S_{k+1}=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k+a_1+kd $$
$$ =\frac{k(2a_1+(k-1)d)+2a_1+2kd}{2} $$
$$ =\frac{2a_1(k+1)+d(k^2+k)}{2} =\frac{2a_1+kd}{2}\cdot (k+1). $$
Это и есть формула для $S_{k+1}$. Значит,
$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$$
верна для всех $n\in \mathbb{N}$.
Докажем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии при $q\ne 1$:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
При $n=1$:
$$S_1=b_1=\frac{b_1(q^1-1)}{q-1}.$$
Пусть формула верна при $n=k$:
$$S_k=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}.$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+b_{k+1}.$$
Подставим:
$$ S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}+b_1q^k $$
$$ =\frac{b_1(q^k-1)+b_1q^k(q-1)}{q-1} =\frac{b_1(q^{k+1}-1)}{q-1}. $$
Следовательно,
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$
верна для всех $n\in \mathbb{N}$, $q\ne 1$.