Упр.1.31 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Докажем, что $$0^n=0$$ для любого натурального $$n$$.
При $$n=1$$ имеем $$0^1=0$$ — верно.
Пусть для некоторого $$n=k$$ верно $$0^k=0$$. Тогда
$$0^{k+1}=0^k\cdot 0=0\cdot 0=0.$$
Следовательно, $$0^n=0$$ для любого натурального $$n$$.
б) Докажем, что если $$0\le a<b$$, то $$a^n<b^n$$ для любого натурального $$n$$.
При $$n=1$$ утверждение очевидно: $$a^1<b^1$$.
Пусть при $$n=k$$ верно $$a^k<b^k$$. Так как $$0\le a<b$$ и $$b>0$$, то при умножении неравенств на неотрицательные числа получаем
$$a^{k+1}=a^k\cdot a<b^k\cdot a<b^k\cdot b=b^{k+1}.$$
Значит, $$a^n<b^n$$ для любого натурального $$n$$.
в) Докажем, что $$a^n b^n=(ab)^n$$ для любого натурального $$n$$.
При $$n=1$$:
$$a^1b^1=ab=(ab)^1.$$
Пусть при $$n=k$$ верно $$a^k b^k=(ab)^k$$. Тогда
$$a^{k+1}b^{k+1}=a^k\cdot a\cdot b^k\cdot b=a^k b^k\cdot ab=(ab)^k\cdot ab=(ab)^{k+1}.$$
Следовательно, $$a^n b^n=(ab)^n$$ для любого натурального $$n$$.
г) Докажем, что $$(a^n)^m=a^{nm}$$ для любых натуральных $$m$$ и $$n$$.
При $$n=1$$:
$$\left(a^1\right)^m=a^m=a^{1\cdot m}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно $$(a^k)^m=a^{km}$$. Тогда
$$\left(a^{k+1}\right)^m=\left(a^k\cdot a\right)^m=(a^k)^m\cdot a^m=a^{km}\cdot a^m=a^{(k+1)m}.$$
Следовательно, $$(a^n)^m=a^{nm}$$ для любых натуральных $$m$$ и $$n$$.
Ответ
а) $$0^n=0$$; б) $$a^n<b^n$$; в) $$a^n b^n=(ab)^n$$; г) $$(a^n)^m=a^{nm}$$.
