Раздел1.3 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Метод математической индукции используют для доказательства утверждений, зависящих от натурального числа $$n$$.

Сначала проверяют базу индукции: верно ли утверждение при $$n=1$$. Затем предполагают, что оно верно при $$n=k$$, и доказывают, что тогда оно верно и при $$n=k+1$$. Если оба шага выполнены, то утверждение верно для всех натуральных $$n$$.

Рассмотрим пример из текста:

$$\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\dots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}.$$

Обозначим

$$A(n)=\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\dots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)},$$

$$B(n)=\frac{n}{3n+1}.$$

Проверим базу индукции при $$n=1$$:

$$A(1)=\frac{1}{1\cdot 4}=\frac14,\qquad B(1)=\frac{1}{3\cdot 1+1}=\frac14.$$

Значит, $$A(1)=B(1)$$.

Теперь найдём приращения:

$$A(k+1)-A(k)=\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}.$$

Далее:

$$ B(k+1)-B(k)=\frac{k+1}{3k+4}-\frac{k}{3k+1} =\frac{(k+1)(3k+1)-k(3k+4)}{(3k+1)(3k+4)} =\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}. $$

Следовательно,

$$A(k+1)-A(k)=B(k+1)-B(k).$$

Если теперь предположить, что $$A(k)=B(k)$$, то из равенства приращений получаем:

$$A(k+1)=B(k+1).$$

Значит, утверждение верно при $$n=k+1$$. По принципу математической индукции оно верно для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\dots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}.$$