Упр.1.29 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Рассмотрим отрезок $$[\sqrt{2};\,\sqrt{2}+1]$$ и точки вида $$\sqrt{2}\pm \frac{1}{n}$$, где $$n\in \mathbb{N}.$$

При увеличении $$n$$ число $$\frac{1}{n}$$ убывает, поэтому точки $$\sqrt{2}-\frac{1}{n}$$ и $$\sqrt{2}+\frac{1}{n}$$ приближаются к $$\sqrt{2}$$.

Проверим несколько значений:

$$n=1:\quad \sqrt{2}-1\approx 0{,}4,\qquad \sqrt{2}+1\approx 2{,}4;$$

$$n=2:\quad \sqrt{2}-\frac12\approx 0{,}9,\qquad \sqrt{2}+\frac12\approx 1{,}9;$$

$$n=4:\quad \sqrt{2}-\frac14\approx 1{,}15,\qquad \sqrt{2}+\frac14\approx 1{,}65.$$

Из этих оценок видно, что при достаточно больших $$n$$ точки $$\sqrt{2}-\frac{1}{n}$$ и $$\sqrt{2}+\frac{1}{n}$$ лежат внутри отрезка $$[\sqrt{2};\,\sqrt{2}+1]$$ и стремятся к его левому концу $$\sqrt{2}.$$

Следовательно, отрезок $$[\sqrt{2};\,\sqrt{2}+1]$$ можно рассматривать как отрезок, содержащий точки, сколь угодно близкие к $$\sqrt{2}.$$

Ответ

$$\sqrt{2}$$