Упр.1.28 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Сначала установим взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств $$N$$ и $$Z$$.

Поставим в соответствие каждому натуральному числу $$n$$ целое число по правилу:

$$ 1 \leftrightarrow 0,\quad 2 \leftrightarrow 1,\quad 3 \leftrightarrow -1,\quad 4 \leftrightarrow 2,\quad 5 \leftrightarrow -2,\quad 6 \leftrightarrow 3,\quad 7 \leftrightarrow -3,\ \ldots $$

То есть:

$$ 2n \leftrightarrow n,\qquad 2n+1 \leftrightarrow -n \quad (n \in N). $$

Такое соответствие взаимно-однозначно, потому что каждому натуральному числу соответствует ровно одно целое число и каждому целому числу соответствует ровно одно натуральное.

Аналогично можно задать соответствие между $$N$$ и $$Q$$: перечислить рациональные числа в виде дробей так, чтобы каждая дробь встречалась ровно один раз, и сопоставить им натуральные числа по порядку. Тогда каждому рациональному числу будет соответствовать единственный номер, и наоборот.

б) Покажем, что между множеством всех точек прямой и всеми точками интервала $$(0;1)$$ можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Возьмём на прямой две точки $$M$$ и $$P$$, а внутри интервала $$ (0;1) $$ — точку $$O$$. Проведём лучи из точки $$O$$ через точки прямой. Тогда каждой точке прямой, кроме точки $$M$$, соответствует единственная точка интервала $$(0;1)$$, и каждой точке интервала соответствует единственная точка прямой.

Следовательно, множество всех точек прямой и множество всех точек интервала $$(0;1)$$ равномощны, то есть между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Ответ

а) $$N$$ и $$Z$$, а также $$N$$ и $$Q$$ можно поставить во взаимно-однозначное соответствие, например по правилам $$1 \leftrightarrow 0,\ 2 \leftrightarrow 1,\ 3 \leftrightarrow -1,\ 4 \leftrightarrow 2,\ldots$$ и через нумерацию рациональных чисел.

б) Между множеством всех точек прямой и множеством всех точек интервала $$(0;1)$$ существует взаимно-однозначное соответствие.