Упр.1.19 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Предположим, что $$\sqrt[3]{3}=\frac{m}{n},$$ где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые целые числа.

Тогда

$$3=\frac{m^3}{n^3},$$

откуда

$$3n^3=m^3.$$

Значит, $$m^3$$ делится на $$3$$, а следовательно, $$m$$ делится на $$3$$. Пусть $$m=3k$$.

Подставим:

$$3n^3=(3k)^3=27k^3,$$

$$n^3=9k^3.$$

Следовательно, $$n^3$$ делится на $$3$$, значит, $$n$$ тоже делится на $$3$$.

Получили, что и $$m$$, и $$n$$ делятся на $$3$$, что противоречит их взаимной простоте. Значит, предположение неверно.

Аналогично доказывается, что $$\sqrt[3]{2}$$ — иррациональное число.

Если бы $$\sqrt[3]{2}=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ взаимно просты, то

$$2=\frac{m^3}{n^3}, \qquad 2n^3=m^3.$$

Тогда $$m^3$$ делится на $$2$$, значит, $$m$$ делится на $$2$$: $$m=2k$$. Подставляя, получаем

$$2n^3=(2k)^3=8k^3,$$

$$n^3=4k^3,$$

то есть $$n^3$$ делится на $$2$$, значит, $$n$$ делится на $$2$$. Это снова противоречит взаимной простоте $$m$$ и $$n$$.

Следовательно, $$\sqrt[3]{2}$$ — иррациональное число.

Ответ

$$\sqrt[3]{3}$$ и $$\sqrt[3]{2}$$ — иррациональные числа.